涡旋式膨胀机数学模型及仿真研究

　　1 引言

　　涡旋式膨胀机是一种新型容积式膨胀机，具有能量转换效率高、结构紧凑、体积小、重量轻和噪声低等优点。随着研究的深入，涡旋式膨胀机在能源的开发利用中得到越来越广泛的应用，如用于压缩空气储能技术(CAES)[1]、有机朗肯循环(ORC)[2]、低温余热回收[3]、天然气管网压力能的利用等。

　　涡旋式膨胀机的数学模型包括涡旋式膨胀机的工作腔容积、泄漏线长度、传热面积等与膨胀机主轴转角的关系，是对涡旋式膨胀机进行仿真分析的基础。本文以圆渐开线型线构成的涡旋式膨胀机为基础，从动静涡盘啮合点的角度推导出膨胀起始角的计算方法。在此基础上建立涡旋式膨胀机通用的工作腔容积数学模型，为涡旋式膨胀机的设计和仿真模拟提供参考依据。

　　2 膨胀起始角θ*

　　涡旋式膨胀机膨胀起始角θ*是膨胀机进气结束、开始膨胀做功瞬间动静涡盘啮合点处的内侧涡盘外壁面型线的展开角。因此，膨胀起始角是涡旋式膨胀机工作过程的重要几何参数，是进气过程和膨胀过程的分界点。欲求膨胀起始角θ*，须先求出动静涡盘啮合点处的坐标。啮合点包括两种：一种是静涡盘外壁面和动涡盘内壁面的相切点;另一种是静涡盘内壁面和动涡盘外壁面的相切点。本文选用第一种啮合点进行计算。

　　涡旋式膨胀机的工作过程可描述为动涡盘基圆中心绕静涡盘基圆中心作半径为r的逆时针圆周轨道运动，其坐标简图如图1所示。

　　坐标系O1x1y1为静涡盘坐标系，O2x2y2为动涡盘坐标系，则动静涡盘坐标变换公式为

　　涡旋式膨胀机工作过程中静涡盘内、外壁面任一点的坐标方程为

式中a———基圆半径准

　　o———外壁面渐开线展角准

　　i———为内壁面渐开线展角

　　α———渐开线发生角

　　r———动静涡盘基圆中心距动、静涡盘啮合点在两基圆切线延长线上(如图2 所示)，且产生啮合点的型线分别为动涡盘内壁面型线 (渐开线发生角为α) 和静涡盘外壁面型线 (渐开线发生角为-α)，所以啮合点处2 条渐开线展角相位差为π-2α，即

　　将式 (5) 带入式 (4) 得

　　将式(3)、(6) 带入式(7)，解得啮合点处静涡盘外壁面型线展角为

　　当k=1 时，第一啮合点(如图3所示)处静涡盘外壁面型线展角为

　　该展角o即为加工铣刀与圆渐开线干涉的的展角参数，可根据方程(9)(参考文献[5)] 求得。

　　3 工作腔容积数学建模

　　3.1 涡旋式膨胀机工作过程

　　目前涡旋式膨胀机工作腔容积的几何模型大多是以2π为周期划分，将工作腔分为中心进气腔、第2膨胀腔、第3 膨胀腔等[6-8]。这种分析方法会使膨胀机的仿真模拟过程复杂化，且涡旋式膨胀机实际工作过程中各腔室并没有明显的界限。与其他容积式膨胀机相同，涡旋式膨胀机的工作过程也是由进气、膨胀、排气组成。定义膨胀结束时的主轴转角为θd，根据啮合关系可知