振动噪声特征的主成分分析方法应用研究

　　1　引言

　　复杂系统振动噪声源的分析问题往往是由于声源的个数较多,而且通常各声源之间还存在一定的相干性,从而使得这一问题变得十分复杂。因此,能否从 这么多声源变量中构造出很少的几个不相关的综合变量,而且这些较少的综合变量可以反映出较多原变量的信息,成为人们所关心的问题。主成分分析法就是利用降 维的思想,把原来多个变量转化为少数几个互不相关的主成分的一种统计方法。它可把多个声源变量转化为较少的彼此不相关的综合变量,以消除输入间的相关性及 减少输入数,最终达到数据化简,揭示变量间的关系和进行数据解释的目的[1~3]。

　　2　主成分分析法的基本原理

　　主成分分析法从测得的变量中提取信息,用尽可能少的主成分替代原变量,从而使问题变得简单。其主要原则是使方差最大,尽可能多地保留原变量所包含的信息[4]。

　　2.1　主成分的求法

　　设在n个测点测得的振动信号为:

　　现在寻求一组新的变量,基本思路是[5]:找出X各分量的一个线性组合y1,为使y1尽可能多地反映X的变化信息,就要使y1具有最大的方差。 继而找出X各分量的第二线性组合y2,为使y2在与y1不相关的条件下具有最大的方差,如此继续下去,直至X的信息基本提取完毕为止。这些新的变量 y1,y2,…yp(其中p n)就称为X的主成分。

　　因此,可以看出要使aTVa最大即要λ最大。由于λ为V的特征根,故λ应取V的最大特征根λ1,再由式(4)可知a应取为相应于λ1的单位化特征向量μ1,因此μ1即是式(2)的解,从而得:y1=μT1X (6)

　　我们把y1称为X的第一主成分。若y1还不能充分反映X,重复上述过程可以求得X的第二组变量y2,第三组变量y3等等。通常我们求解X的主成分可归纳为以下三个步骤:

　　1)求X的协方差矩阵的特征根,记为

　　λ1 λ2 … λk 0

　　λk+1=…=λn=0(7)

　　2)求λi对应的单位特征向量ξi。

　　3)取yi=ξ′iX即为X的第i个主成分。

　　一般来说,由于随机向量X的主成分是由X的分量的特殊线性组合得到的,所以,当各个变量的量纲不同的话,则这种线性组合的物理意义就很难给出解释。因此,如果存在各个变量间的量纲或数量级不一致的情况,我们首先需要对随机变量X作标准化处理。

　　2.2　贡献率和主成分的实际意义

　　主成分分析的目的是用尽可能少的不相关的主成分y1,y2,…,yp(其中p n)来代替n个相关变量x1,x2,…,xn,且能描述X=(x1,x2,…,xn)T的统计特性,并对y1,y2,…,yp的实际意义能作出解释。那么 要取多少个主成分才合理是一个急需讨论的问题。

　　对于一般多元统计分析,考虑前若干个λi使其占的比例较大,而略取较小的λi,对问题分析影响不大。一般来说,若前m个主成分的累计贡献率超过 85%就够了,即这m个主成分的方差占“总方差”的85%以上,则只需取这m个主成分就足够了。当然这并不失一个绝对不变的标准,可以根据实际效果作取 舍。关于主成分的实际意义,需要结合实际应用中的具体问题和相关专业知识才能给出合理解释。