基于力学思想的最小外接圆度误差评定

    1 引  言

    圆度误差是实际轮廓相对于理想圆的变动量,它直接影响着零部件的配合精度、旋转精度、摩擦、振动、噪声等,降低了零件的使用寿命,因此对圆度误差进行测量和评定对于控制零件的质量具有重要的意义[1]。圆度误差的定方法主要有4种:最小区域法、最小二乘法、最小外接圆法、最大内切圆法。符合圆度误差定义的是最小区域法,最成熟应用最广泛的是最小二乘法,最小外接圆法适用于轴类零件的圆度误差评定,最大内切圆法适用于孔类零件的圆度误差评定。

    近年来,随着坐标测量技术的发展,出现了许多从坐标数据中获取圆度误差的方法,首先需要用一个圆来拟合给定的数据点,拟合的准则有最小二乘、最小外接、最大内切和最小区域。其中除最小二乘法有较好的求解方法外,其他3种拟合准则还没有形成公认的最好的求解方法。一种是将其看作最优化问题[2]来解决,但圆度误差评定问题是复杂的多元函数最优化问题,求解困难。为了进行圆度误差评定,人们想出了各种方法,如计算几何中的Vorinoi图[3-4]和凸包法[5],人工智能中的神经网络[6]、搜索算法[7-9]、粒子群[10]、仿增量法[11]、切比雪夫法[12-13]等及其他方法。最直接但非常有效的方法是利用穷举法,但该方法在数据量比较大时,效率较低。

    本文从力学的角度来思考最小外接圆度误差评定的实质,提出利用几何方法来求解最小外接圆,并利用VC++编写程序进行了算法验证。

    2 最小外接圆评定模型

    在数学上,最小外接圆可描述为:包含所有数据点且半径为最小的圆。设Pi(xi,yi), i =1,,,m是二维空间里的一个包含有限个数据点的集合,表示采样得到的实际圆上的数据点。C(a,b,R)表示该平面上的一个圆,该圆的中心坐标为(a,b),半径R,最小外接圆问题即为:

    满足式(1)的圆即为最小外接圆,最小外接圆存在且唯一。该问题是一个最优化问题,可用优化理论的方法来进行求解。本文从另一个角度来思考这一问题,如图1所示,将采样得到的实际圆上的数据点看作定在平面上固定不动的/钉子0。在平面上放一个圆环,该圆环包含所有的/钉子0,且在外力的作用下,圆环的半径和位置可变,但形状保持不变。即该圆环具有刚体的性质,但又不是刚体,本文称之为/半刚体0。在沿圆周均布力的作用下,圆环的半径将始终有变小的趋势,直到遇到钉子的阻碍达到平衡状态为止。圆环可能的最小半径就是最小外接圆。

    3 模型的求解

    3.1 凸包的应用

    凸包是计算几何中的一个重要概念,可分为二维凸包和三维凸包,这里只讨论二维凸包。平面的一个子集是S包,当且仅当对于任意两点p,qIS,线段pq都完全属于S。直观上可以这样理解:取一根橡皮筋,将它撑开围住所有的钉子,然后松开手,橡皮筋将紧绷到钉子上,这次橡皮筋围住的区域就是由这些钉子所确定的凸包。如图2所示。