圆度误差的快速傅立叶变换分析

    0 引言

    圆度误差是高精度回转零件的重要检测指标。测量时,被测零件置于回转台上,对其正截面进行等角度间隔采样。对数据点序列进行离散傅立叶变换后,被测轮廓则可在频域确定地表现出来,无关的频率成分可以滤掉或从圆度误差中分离出来。因此,可采用频域的方法计算圆度误差。从零件的功能角度看,形状特征也很重要。由于不同频率对圆度误差形状具有确定性的影响,因此可以通过圆度误差的频域分析方便地确定误差的形状特征。MATLAB是一种科学计算语言,其中的求解线性方程方法可方便地用于基于最小二乘法的圆度误差计算。通过FFT和IFFT函数,以及绘图函数,可以直观地分析圆度误差的特征。

    1 圆度误差的数学模型

    零件的回转表面正截面轮廓的圆度误差是指被测实际圆对于理想圆的变动量,其中最小二乘法最为常用。如图1所示,O1为被测零件回转中心,

    将被测实际圆分成N个彼此相等的角度,于是得到N个等分的数据点Pi(ri,Hi)。被测实际圆半径ri为从回转中心O1算起到数据点Pi(ri,Hi)的距离。在坐标系XO1Y中,令理想圆的圆心为O(a,b),与回转中心O1的偏离量为e=OO1=(a2+b2)1/2。理想圆半径为R。各离散采样点Pi到理想圆之径向偏差为Ei=PiD=OPi-R。由图1可见NPiO1X=Hi,NOO1X=A。所以A=ecosA,b=esinA。

    根据图1,实际圆半径ri为

    实际上,ri并不容易测得,而$ri容易测量,两者之差为一未知常量。因此假设

ri=r0+Δri,  (i=1,2,N) (4)

    其中r0即为所指的未知常量。

    将式(4)带入式(3)可得

    并记ΔR=R-r0,可得

    2 圆度误差的傅立叶分析

    周期信号f(t)的周期为T,若满足狄里赫利条件,则可展开成傅立叶级数(Fourierseries),其三角级数形式为

    其中a0,an,bn为傅立叶系数。

    如图1所示,由于误差的存在,实际零件上的回转表面正截面的轮廓并不是一个理想圆,而是可用向径r=r(H)表示的,以零件回转一周为周期的周期函数[1]。

    考虑到Δr=r-r0,Δr具有与r相同周期。为此周期函数$r可展成傅立叶级数

    若记H=2Pf0t,可得以时间t为变量的函数

    理论上,通过将函数展成傅立叶级数,便可区分不同频率谐波,并得到它们的幅值和相位。实际上,函数$r是未知的,而仅能通过在采样截面轮廓上等角度间隔采样得到离散数据点$ri,对其进行离散数据傅立叶变换(DFT)。其数学表示为[2,3]