检定钢尺温度误差的改正方法探讨

　　0 引言

　　钢尺在工程测量中有着广泛的应用,钢尺在刚出厂时或使用一定时期以后,都需要检定,注明检定时的温度、拉力和尺长。众所周知,钢尺长度随温度的变化而变化。在野外测绘工作中,冬、夏季温差较大,最大温差可达到60^oC左右,因此温度对尺长的改正数影响很大,传统的尺长温度改正计算式为:

式中a--钢尺的膨胀系数;

　　t--丈量时钢尺的温度(e);

　　t0--钢尺检定的温度(e)。

　　本文利用线性回归分析的基本原理和方法,对n组钢尺检定时不同温度尺长变化数据进行研究,求出钢尺改正数c与取不同温度t值时的回归方程。

　　1 线性回归的数字模型

　　由于钢尺的尺长改正数与丈量时钢尺的温度成正比关系,则随机变量c与m个非随机变量t1、t2、...tm之间存在着线性形式的统计相关,但他们并不是确定的函数关系,即使给定了t1、t2、...tm之值也不能惟一决定c值。因此,c与这些ti(i=1,2...m)之间表达式应写成

式中是随机误差。

　　又知自变量t与因变量c间直接相关,由(1)式得c的表达式为

式中i=ci-(a+bti)=ci-E(ci) 表示c与其均值的偏差。对于n组观测数据来说,偏差的平方和为

　　根据最小二乘原理,要求(4)最小。确定(3)式中c和t的估值和tC。将和代入(2)的理论模型E(c)=a+bt右边,由此可求得E(c)的最小二乘估值为

　　2 一元线性回归

　　由观测方程(3)在(4)为最小要求下可得法方程为

　　则(12)、(13)就是计算a、b的实用公式。

　　又知(6)的系数阵与其逆阵的关系为

其中Q11--估值的权倒数;

　　Q12--估值的权倒数;

　　Q22--与的相关权倒数或协因数。

　　由此得估值、的方差及、的协方差为:

　　方差无偏估值用下式计算

　　3 算例

　　为检定某30m钢尺的常数c在测量时温度变化的影响,选择了15组不同温度进行检定,测量所得的15组平均钢尺长c值和平均气温t及计算结果见表1。

　　根据给定的t值来预报值,但预测只能在所检定范围内进行。本例钢尺检定时温度范围是27.6e~32.7e,一般不能外推。

　　4 结语

　　利用检定钢尺时不同温度下钢尺的不同长度检验数据,用线性回归的基本原理,较科学地提出钢尺尺长、温度改正方程式的理论和计算方法,其尺长改正数经检验正确可靠,在测绘工作中有着很强的应用性。建议检定钢尺时,在条件许可的情况下,温差尽可能放大,则求出的温度改正尺长方程的适用范围就更广。