逆向工程椭圆柱构件的拟合计算

    1 引言

    现代工业构件的检测工作具有数据采集量大、点位测量要求精度高、数据要求可靠度高等特点,传统的丈量尺寸的检测方法已经逐渐不能适应其需要。所以目前工业构件的检测大多采用逆向工程的原理:通过使用测量仪器,采集待测工业构件特征位置的一系列点的坐标,通过对这些坐标进行拟合计算,对比设计数据,从而达到对工业构件进行检测的目的。

    在工业领域中,椭圆柱状的工业构件有很多,包括油罐、气罐、运输罐、沥青罐等储罐类构件,以及其他椭圆柱型的工业构件等等。文献[1]提出一种将特征值也作为参数的二次曲线拟合方法;文献[2]提出利用神经网络进行椭圆柱面拟合的方法,但这两种方法的数学模型均较为复杂。本文通过研究椭圆柱的几何性质,提出一种拟合椭圆柱的简单方法:以最小二乘原理为基础,通过坐标转换将空间任意位置的椭圆柱转换为标准位置的椭圆柱,从而达到拟合计算的目的。

    2 椭圆柱底面的拟合

    平面方程通常表示为

Ax+By+Cz+D=0(1)

    很显然,若方程两边可以同时乘上一个比例系数,所得方程依然表示该平面。所以,为方便起见,令系数D=1,则平面方程改写为

Ax+By+Cz+1=0(2)

    根据最小二乘法原理,每组观测点(xi,yi,zi)的误差方程为:

vi=Axi+Byi+Czi+1(3)

    令:

    则误差方程改写为:

    利用在椭圆柱底面上测量得到的n个点的坐标,建立n个误差方程,通过间接平差的方法便可求出平面方程的3个参数。

    如果对椭圆柱的两个底面都进行了测量,那么可以列出两套误差方程:

    由于椭圆柱两个底面是平行的,所以上下两个平面方程的参数满足条件:

    可以结合式(6)和式(7),按照附有条件的间接平差模型进行解算,即可求出这两个平面方程。

    3 计算平面的法向量

    式(1)、式(2)为平面方程的一般表达式,同样平面可以表达为如下的法式表达式:

    式中,α、β、γ为平面法向量分别与X、Y、Z3个坐标轴的夹角,r为法向量的长度。式(2)和式(8)都为同一平面的表达式,所以对应系数满足:

    又根据向量夹角余弦定理,有:

    通过式(9)和(10),解得

    考虑式(9)中r与k的关系,如果规定法向量长度为正,则k取负值。所以平面法向量可表达如下: