圆锥度误差的评定方法与优化算法

　　1 引言

　　由于圆锥形零件具有安装和定位快速准确、零件之间结合的可靠性和密封性好、配合具有对中性等优点,因此在机械、航天航空等行业得到了广泛应用。圆锥形零件形位误差的测量与评定是其几何精度指标的重要组成部分。圆锥度是圆锥面的形状误差,是构成圆锥面各要素形状误差的总体表现[1]。目前,国际标准以及我国的国家标准均未对圆锥面的形状误差进行明确定义,但是,根据已定义的其它形面的形状误差(如直线度、圆度、平面度、圆柱度等),可以推导出圆锥度[2]。圆锥度的误差值是由实际表面与特征圆锥面之间在径向方向上最大偏差值的两倍来确定的。圆锥度也可以用包容概念来阐释,即包容被测轮廓的两同轴圆锥面的最小距离即为圆锥度误差[3]。

　　根据国内外标准规定的形状误差评定条件,可以推导出,圆锥度误差的评定方法包括最小二乘圆锥法和最小区域圆锥法。最小二乘圆锥法是目前应用较为广泛的评定方法,但由于其原理不符合评定形状误差的定义,存在原理误差,因此只是一种近似评定方法[4]。最小区域圆锥法是一种完全符合定义的评定方法,但如何找到包容实际圆锥面的两个同轴圆锥面之间的最小区域,一直是实现圆锥形零件形状误差(圆锥度)精确评定的难点。目前,还没有最小区域圆锥法的相应国家标准。但自从“形状和位置公差”国家标准颁布以来,广大研究人员在圆锥度误差的测量和评定方面做了大量研究工作,提出了多种寻找理想圆锥的有效方法及其优化算法。

　　2 圆锥度误差的评定方法

　　(1)最小二乘圆锥法

　　最小二乘圆锥评定方法的理论依据为:实际表面上的测量点与最小二乘理想圆锥面之间距离差值的平方和为最小。图1为圆锥度误差的简化模型[5],其中,顶点坐标为D(xp,yp,zp),半锥角为C,圆锥轴线方位角为(A,B),令实际圆锥面的测量点到理论圆锥的距离为di。由图中几何关系可知:

　　其中:

　　定义目标函数为

　　当用最优方法求得J的最小值时,即可得到一组所要求的最小二乘锥面轮廓误差的最优参数[xp,yp,zp,α,β,γ]^T,根据最优参数,可求得最小二乘圆锥度误差为

　　(2)最小区域圆锥法

　　用最小区域圆锥法(简称最小区域法)进行评定时,圆锥度误差系指包容实际圆锥轮廓且两锥面间距离最小的两同轴圆锥面之间的距离[6]。满足最小区域条件的圆锥度误差必须使两同轴圆锥面之间的距离为最小。进行评定时,关键在于根据最小条件确定包容实际轮廓圆锥面的理想轴线和锥角。根据定义和式(1),最小条件圆锥度误差的数学模型为