圆度误差测量的数学模型

　　圆度误差的评定方法,按定义应为最小区域法,近似的评定方法有:最小二乘法、最小外接圆法和最大内切圆法.本系统应用此三种近似方法,给出圆度误差测量数据处理的设计原理.

　　1 最小二乘法数学模型的建立

　　如图1所示,最小二乘圆是实际轮廓上各点到该圆的距离的平方和为最小的圆.以被测实际轮廓的最小二乘圆作为理想圆,其最小二乘圆圆心至轮廓的最大距离之差即为圆度误差.

　　用直角坐标Xi和Yi表示的极坐标图,坐标原点为O',设最小二乘法圆中心为O,其坐标为(ai,bi),半径为R.由几何关系和公式推导可得

　　式中,ri为被测实际轮廓上各点至坐标原点O'的距离.

　　被测实际轮廓上各点至最小二乘圆圆心的距离为

　　在编制程序时,首先用对话式输入采样点数n,基本半径R',读数$ri计算出被测实际轮廓上各点至测量中心即坐标原点O'的距离

　　代入公式,即可分别计算出ai,bi,R以及Ri的值,最后利用排序的方法找出Ri中的最大值Rimax和最小值Rimin,则根据定义,最小二乘法的圆度误差

　　2 最小外接圆法数学模型的建立

　　最小外接圆法,主要用来评定外表面的圆度误差,并利用最小外接圆尺寸来确定配合性质,为保证最小外接圆尺寸的准确,调整传感器时,必须用一标准尺寸心轴调整传感器,它是以与实际轮廓相接触的最小外接圆作为圆度误差的评定基准,其圆度误差值为外接圆半径R与实际轮廓上各点至最小外接圆中心的最小半径Rmin之差,即

　　判别最小外接圆的准则有两个:一是外接圆与误差曲线有三点接触(三角形准则),如图2所示.二是外接圆与误差曲线上两点接触,且两点连线通过圆心(直线准则)如图3所示.

　　首先用直线准则判定,并在最小二乘法基础上,求出各Ri-R>0点中的峰值点和Ri-R<0峰谷点,如图2所示.再从峰值点中求该点与其相差120°-270°间各点的弦长

　　用排序法求出Lmax,并验算θ2-θ1是否为180°,若为180°,则最小外接圆半径为

　　其圆心坐标为

　　若θ2-θ1不为180°,则求各点至此心的距离其中必有一个点的距离为最大且大于Li/2 ,则以此点及最大弦长两点构成三点做一个圆,若此圆将各点包容在内,则此圆为最小外接圆,该方程根为

　　联解得

　　找出实际轮廓上各点至最小外接圆中心的最小距离Rmin,则最小外接圆法圆度误差f2为

　　3 最小区域法数学模型的建立