基于格林函数法的封闭声腔的结构-声耦合分析

    引　言

    封闭声腔的主动控制研究历经几十年的发展,各种控制策略、目标函数的提出极大地丰富了封闭声腔的主动控制方法[1～5]。主动控制中涉及的一个核心问题就是结构-声的耦合作用分析。这个方面的分析首先是从Lyon开始的,他研究了从板进入长方体空腔的声传递问题;同时,Dowell和Voss研究了板-声腔系统的模态响应。自此以后,人们在这个问题上展开了持续的研究。尽管如此,前人的研究都以规则几何形状的长方体封闭声腔为立足点,因为依赖规则模型的解析表达式,所以结构-声的耦合问题处理起来很容易。本文根据模态叠加原理,从格林函数的观点出发,结合流体的波动方程和结构的振动方程,导出了系统的声压和速度响应表达式;这套公式不受声腔几何形状的限制,且物理意义明确。在此基础上,利用模态的数值解合成耦合系数,摆脱了对模态解析解的依赖,从而使该方法能够应用于非规则模型。

    1　理论部分

    1.1　声压响应公式的推导

　　设体积为V的声腔,被表面积为S的边界密封,S由SF和SR两部分构成,即S=SF+SR,SF表示弹性表面,SR表示刚性表面;声腔内的流体在受到任何扰动之前处于静止状态。若声场中存在波动声源qvol(x,t)和波动力源fvol(x,t),且考虑简谐激励的情况,则声压分布P(x)满足非齐次的Helmholtz方程及边界条件如下[1～3]

    式中　fvol(x)和qvol(x)分别表示每单位体积的力分布函数和每单位体积的体积速度分布函数;k=X/c0,X为激励频率;c0和Q0分别为声媒质处于平衡态时的声速和密度;un(x)表示声腔的弹性边界上沿法线方向n的速度振幅(由内向外规定为法线正方向)。

    在单位点源的作用下,声压的分布可以用格林函数G(xûy)描述,满足方程如下

    式中为Hamilton算子,D(x-y)为三维Diracdelta函数。

    考虑到格林函数是由刚性边界条件下声腔的各阶固有模态构造而成,结合式(1)和式(3),可得声压分布的积分式

　　若声场中只有波动声源存在,则

　　将式(2)和式(5)代入式(4),得

　　对于刚性边界的封闭声腔,其格林函数为[6]

    式中　Wn(·)为刚性边界声腔的第n阶固有声压模态;

    将式(7)代入式(6),得

    式(8)正是声压分布的模态叠加式,an(X)为外界激励下第n阶声压模态的振幅贡献。

    引入第n阶声压模态的阻尼因子Nn,an(X)得

    式(9)具有明显的物理意义:具有弹性边界的封闭声腔,内部有声源激励qvol(y),边界上承受弹性边界的振动带来的激励un(y);当上述两个因素按式(9)的方式共同作用于第n阶声压模态Wn(y)上时,对应于该阶声压模态的振幅贡献就是an(X)。