一种用于圆度误差评价的简化算法

　　在圆度误差的评价中,最常用的计算方法是最小二乘法[1]。如图所示,为了评价圆度误差,可以转轴o为中心,每隔一定角度Ai测量测点的极径Ri(i=1,2,,,N),一般认为角度Ai是可以精确测量的量,而Ri则是存在测量误差的随机变量。此时,测量误差方程可表示为

　　式中,(u1,u2)为待求圆圆心直角坐标,R为待求圆半径,εi为残余误差。

　　为了求得圆心坐标(u1,u2)及半径R,可以极小化如下准则函数:

　　由式(2)可知,Ei是(u1,u2)及R的非线性函数,无法直接极小化J,必须采用某种形式的迭代算法,如优化算法中的Powell法、单纯形法或阻尼最小二乘法等[2]。为了计算的方便,出现了各种形式的替代算法[1][3][4],如文献[1]给出的算法具有严格的使用条件,即要求测点在圆周上均匀分布,并且满足“小偏差假设”和“小误差假设”;文献[3][4]主要是针对直角坐标系下的测量数据给出的,也有一定的适用范围。

　　本文在式(1)的基础上,给出了一种用于极坐标测量数据的圆度误差评价算法,该算法避免了圆度误差评价的非线性求解问题,具有概念清晰、应用方便等特点,可应用于实际的圆度测量数据的处理。

　　二、算法的推导

　　给定任意的圆度测量数据(Ri,αi)(i=1,2,,,N)(若给定直角坐标测量数据(xi,yi),亦可以方便地转换成极坐标形式),由式(1)得到如下观测方程:

　　将式(3)两边平方并整理得

　　则有

　　显然式(6)为线性观测方程,当N>3时,式(6)为超定方程。

　　令

　　则由式(6)可得正则方程为

　　由于一般情况下(Ri,αi)(i=1,2,,,N)相互独立,因此AT#A为对称的可逆方阵,由式(7)即可求出式(6)的最小二乘解为:

　　由式(5)得

　　至此,即可由式(8)及式(9)求得待估的圆心(u1,u2)及半径R。

　　由上述推导可知,式(8)的计算结果实际上是极小化如下准则函数(参见式(4)):

　　将上式改写成:

　　比较式(2)及(11)可知,J1对J进行了加权处理,其相应的权值为Wi,因此,上述计算方法可以看作为用于圆度误差评价的简化算法。

　　三、计算结果

　　为了考察上述算法的有效性,进行了计算机仿真试验,仿真数据采用模拟数据,其构成因素尽量反映加工、测量及诸偶然因素的影响[3],从而使得模拟数据尽量符合实测数据的特性。表中给出了一组测量数据及其计算结果。其中圆心与回转轴线之间的距离与圆半径之比约为0.2,远不满足“小偏差假设”,圆度误差与半径之比约为0.1,亦不满足“小误差假设”。运用本文算法以及与之进行对比而运用阻尼最小二乘法的计算结果见表,其中fLS为基于最小二乘法的圆度误差评价结果。