测量平面度误差时不确定度的相关计算方法

　　0　引言

　　一般按节距法测量平面度误差时,测量结果不确定度是按各节点相互独立进行计算的.例如图1所示平板,用水平测量后,假设a、c为最低点,b为最高点,则平面度误差F为

　　式(1)中,Za、Zb、Zc为节点a、b、c相对于起始点O的高度差.通常方法假设Za、Zb、Zc是相互独立的,故测量结果的不确定度为

　　假设每步距测量值是等精度的,其标准不确定度为δ,则Za、Zb、Zc的不确定度分别为:

　　σ,σc=2σ.代入上式后得:

　　将Za、Zb、Zc与测量值L之间的关系用矩阵表示为

　　式(4)中步距测量值l5、l6、l7、l8之间虽然是独立的,但Za、Zb、Zc之间并非独立,因为从式(4)中可以看出

　　三者有包容关系,因而它们是相关的.按式(2)计算时忽略了相关项,σF值往往偏大.

　　1不确定度的相关计算方法

　　因为各节点相对于起始点O的高度差Z可表示为步距测量值l1、l2、……ln的线性函数,故可用矩阵表示为

　　式(6)中,B为测量值L的系数矩阵;L为测量值矩阵.

    （7）

　　对照(4)、(6)两式,显然

  （8）

　　故测量值的系数矩阵B为

  （9）

　　若测量值X为L的线性函数,其矩阵表达式为

　　而另一测量值Y亦为L的线性函数,其矩阵表达式为

　　则X关于Y的协方差σXY为

　　式(12)中,D(L)为测量值L的方差阵.

　　当测量值l1、l2……ln为等精度独立测量时,则方差阵D(L)为

　　式(13)中,ε为单位矩阵;σ2为每步距测量值的方差.

　　故Za关于Zb的协方差Rab为

  （14）

　　Za关于Zc的协方差σac为

 （15）

　　Zb关于Zc的协方差σbc为

 （16）

　　由(14)、(15)、(16)三式可知,Za、Zb、Zc之间的协方差项不为零,故平面度测量结果的不确定度σF应为

 （17）

　　将式(3)与式(17)计算的RF值相比,其倍数为

　　二者相比竟达三倍,可见按独立测量计算,精度损失之大,有时是惊人的.

　　为简便起见,有时可将相关计算化成独立计算,为此将式(4)代入式(1)经化简后,为

　　由于l5与l6为独立测量值,而且是等精度的,故

　　比较(17)、(20)两式,结论完全一致.

　　2　相关计算的矩阵方法

　　从式(1)可以看出,平面度误差F为评定点Z的线性函数,故可用矩阵表示为