基于高精基准的面对面垂直度评定与软件开发

　　1 垂直度评定的核心问题

　　按国标《GB/T 1958-2004》[1]规定，面对面垂直度误差属于位置公差中的定向误差范畴，指实际被测平面要素相对于给定基准平面在垂直方向上的变动量，此变动量要符合“最小条件”原则，即将被测平面上的测点投影于基准平面，求取这些投影点的二维直线度误差，此即为被测平面相对于给定基准平面的垂直度误差值。

　　如果基准平面是已知的，即其平面方程(可记为π0:a0x+b0y+c0z+d0=0的法矢T=(a0,b0,c0) 已给出，从文献[1]中关于被测平面对于基准平面垂直度误差的概念描述可知，只要把被测平面上各点投影到基准平面，则求垂直度误差实际上就是求全体投影点的二维直线度误差，如此则空间问题就转化为二维的问题;如果基准平面要素是通过测量获得的(设基准上测量点集为P={Pk(xk,yk,zk),k=1,?,n})，毫无疑问要以测量点为依据拟合出平面作为基准平面π0，然后进行垂直度误差评定。按照文献[1]规定，拟合平面π0必须是通过平面度误差计算过程而获得的，才可以作为基准平面，进一步在π0的基础上继续进行面对面垂直度误差计算。

　　显然，问题的核心是如何求得符合“最小条件”的基准平面，只有在拟合出高精度基准平面的基础上，才有可能求取高精度的面对面垂直度误差。为此，业界专家们推出了不同的平面拟合方法：文献[2-3]提出以“最小二乘平面”法求取基准平面，虽然合乎文献[1]规定但计算精度有局限;文献[4]用“直接比较法”与“坐标法”求取，对狭长平面之类的特殊情况用“光轴法”、“水平仪法”求取，方法简便易行但精度不高;文献[5]也有类似的情况。本文针对求取基准这一核心问题提出新算法，使基准平面的求取过程与垂直度误差评定过程均符合“最小条件”的原则，从而得到高精度的面对面垂直度误差值。

　　2 基准平面拟合

　　设基准平面上测量得到的点集P={pk(xk,yk,zk),k=1~n}，拟合平面 π0的法向量为T=(a0,b0,c0) ，如图1。由文献[1]规定可知，要使π0符合“最小条件”成为最佳拟合基准，π0的平面度误差值计算过程必须要满足“最小区域”原则，即须求得一对平行的平面包容点集P，且令两平面间距离达到最小。求最佳拟合基准的总体思路是：首先以“最小二乘法”求取初始拟合平面，进而将拟合平面的平面度误差计算向“最小区域”靠近，令结果满足“最小条件”。记由“最小二乘法”得到的初始拟合平面方程为π0(求取的算法与过程在文献[2-3]中均有叙述，此不重述)，初始平面度误差为δ 。经过观察分析，发现可以通过有意识地细微转动π0(即转动π0的法方向)，使δ值降下来。