非规则声腔的结构-声耦合分析

    0 引 言

    对于封闭声腔的声传递问题,前人已经做了很多工作;但是这些工作大都基于理想化模型,即以规则声腔作为研究对象[1~4]。这样做的好处是:理论以及数值仿真研究能依赖规则模型的解析表达式而展开,使研究过程很大程度上得以简化。但是这种模型与实际情况相差太远,一旦声腔形状非规则,以前的理论就很难应用。基于这种考虑,以非规则模型为对象,结合经典的薄板振动方程和声学波动方程,利用有限元分析非规则声腔的优势,展开以下分析。

    1 理 论

    设体积为V的声腔,被表面积为S的边界密封,S由SF和SR两部分构成,即S=SF+SR,SF表示弹性表面,SR表示刚性表面。若声腔内的流体在受到任何扰动之前处于静止状态,则流体压力p(rs, t)满足通常的波动方程及其边界条件如下[5~6]:

    其中,r,rs分别为描述板二维平面和声腔三维空间的位置向量,5为拉普拉斯算子,w(r, t)表示板的振动位移分布,P(rs, t)表示声腔的声压分布, c0和Q0分别为声媒质处于平衡态时的声速和密度, n表示声腔弹性边界上的法线方向(由内向外规定为法线正方向)。

    刚性边界声腔的各阶固有声压模态构成方程(1)的解集:Wn#ejXnt, n=0,1,2,,,其中声压模态Wn满足以下条件:为声腔的第n阶固有频率。

    根据格林积分理论,有:

    其中,P为P(rs, t)的简写形式。

    将方程(1)代入方程(3)的等号左端,然后将声压的模态叠加形式代入,可以导出:

    将式(2)描述的边界条件代入方程(3)的右端,可以导出:

    将式(4)和式(5)分别代入方程(3)的左端和右端,在简谐激励下,考虑阻尼因素,可导出:

    其中, 为模态耦合系数,Fn为第n阶声压模态的阻尼因子,Pn为第n阶声压模态的贡献,为声腔的第n阶模态质量。

    作为封闭声腔边界的弹性板,在受简谐激励的情况下,其振动方程可写成:

    其中,w(r, t)表示板的振动位移分布,Fl(r, t)为作用于弹性边界上的第l个点力,m为弹性板单位面积的密度,D为弹性板的抗弯刚度。

    根据结构格林函数G(r,r0)以及格林定理,从方程(7)可进一步推导出:

    考虑到简谐激励下,弹性板的法向位移w(r)和法向速度un(r)之间的关系,可以得到弹性板法向速度的各阶模态贡献:

    其中,Xm和Um(r)分别为弹性板第m阶模态的频率和振型,Nm为板的第m阶模态阻尼因子,Mm=QSFm#U2m(r)dS为弹性板的第m阶模态质量。