多自由度系统动力响应灵敏度分析与振动控制

　　1 引言

　　灵敏度分析对动力系统的改进、优化设计和振动控制等都具有重要作用.在过去的二十年中,重频与非重频、亏损与非亏损系统模态关于设计变量的灵敏度分析及其应用已有较深入研究[1~6].最近这方面研究进展到动力响应关于设计变量的灵敏度分析[7~9].文[7]运用里兹法和模态加速度法分析结构瞬态响应的设计灵敏度.文[8,9]分别给出冲击与周期载荷作用下离散系统的瞬态与稳态响应灵敏度表达式.这些结果都是基于模态叠加方法,利用系统模态进行解耦,从而表达振动响应及其关于设计变量的灵敏度.如果使用相应无阻尼系统的模态解耦,那么要求系统具有比例阻尼.如果使用相应一阶系统模态,那么它将是复数形式.

　　本文采用脉冲响应矩阵方法将多自由度动力系统的响应包含稳态部分表示成积分形式,此外的暂态部分积分成指数矩阵形式.响应关于设计变量的灵敏度可以表示成类似的积分形式,两者具有相同的脉冲响应矩阵.这种表达方式不要求系统阻尼是比例的,或阻尼阵能通过模态对角化,而且质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵可以非对称.振动控制问题通过性能指标及其极值描述,利用响应灵敏度表达系统性能指标极值关于设计变量的灵敏度,分析表明该基于一阶导数的极值灵敏度不受达到极值时间灵敏度的影响.导出周期激励与冲击作用下的振动位移响应与加速度响应控制性能指标关于设计变量的灵敏度表达式,讨论振动控制和优化动力修改问题.给出具有Rayleigh阻尼系统振动位移响应控制与冲击加速度响应控制的例子,以验证本文方法的有效性.

　　2 响应灵敏度

　　多自由度动力系统的振动问题可以表示成

式中b为一维设计变量,M、C、K分别为动力系统的N维质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵,X、S分别为N维响应向量与外激励向量.当质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵关于设计变量连续可微且非奇异时,响应向量也关于设计变量连续可微[1].相应于设计变量b的变分Db,式(1)的变分方程为

　　动力响应关于设计变量的灵敏度向量Y依赖于响应X,是时间的函数,并且具有零初值.如果系统具有Rayleigh阻尼,C=AM+βK,则

　　将方程(1)的解分解成零激励的齐次解Xc和零初值的特解Xs两部分,即

　　特解Xs包含了系统的稳态响应.按照脉冲响应矩阵方法,激励可以表示成各个脉冲的累加,则响应也能表示成脉冲响应的累加,于是有

式中N为系统自由度数,脉冲响应矩阵H的元素hjk(t-t1)表示系统对于t1时刻第k个自由度处脉冲激励的t时刻第j个自由度的响应.如果质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵非对称,则脉冲响应矩阵也非对称.齐次解Xc属于系统的暂态响应.对于非奇异的质量矩阵M,方程(1)的齐次式可以改写成