小平面平面度误差的在线测量

　　1 引言

　　平面度误差是零部件的一个重要的形位误差，是几何量测量中最基本的被测量之一，其大小直接影响着机器的工作质量和工作性能。根据形位公差国家标准的规定，平面度误差是指被测表面对理想平面的变动量，而理想平面的方位应符合最小条件[1]，即其方位应使被测表面对理想平面的最大变动量为最小，因此确定理想平面成为平面度误差测量的关键所在。传统的确定标准平面的方法有三点法、四点法和最小包容区域法，但这些方法适用于较大平面，测量精度有限，且不便于在线测量[2]。针对企业要求对精密小平面平面度误差实现在线测量的要求，本文在最小包容原则的基础上，利用现有的便携式坐测量机测出小平面在固定工位上的坐标值，运用最小二乘算法确定基准平面，最终由计算程序算出平面度误差，根据平面度公差要求直接判断零件是否合格，实现在线快速分选，对提高产品检测效率有重要意义。

　　2 平面度误差测量的最小二乘法原理

　　最小二乘法原理是一种在多学科领域广泛运用的数据处理方法，常被用来拟合直线或平面，因此平面度误差测量的最小二乘法即是指运用测量数据拟合出最小二乘平面，将该平面看作平面度误差评定的理想平面。现假设最小二乘平面方程为：

　　若式(1)中的a、b、c参数已知则最小二乘平面也就唯一确定，但在实际测量中该平面并没有事先确定，必须根据实验数据拟合出来。设实际测量小平面上各点的坐标值为(xi, yi, zi)，其中i=1，L，K为测量点数，则根据最小二乘原理，要求各测点到最小二乘平面的距离平方和为最小[3]。各测点到最小二乘平面的距离为：

　　因此最小二乘法表示为：

　　则式(3)必须满足极值条件，即：

　　通过求解式(4)得到未知参数a，b，c的值，分别为：

　　式中

　　从而得到最小二乘平面，则根据最小包容原则，被测平面的平面度误差为测量点对于最小二乘平面的两个峰值[4]，表示为：

　　3 测量布点及程序流程图

　　被测小平面的外形尺寸如图1所示，因尺寸较小不便于安装多传感器测头，因此考虑用现有的便携式坐标测量机提取不同点的坐标值。为尽可能准确测定平面的平面度误差，测量布点原则上是越多越好，但考虑检测效率和存储、运算速度，测量布点见图1中的十字星，根据测量出的21点坐标值，经运算程序得到最小二乘平面，并由式(5)给出平面度误差值，与企业给的平面度公差比较可直接判断产品是否合格。所编程序流程图见图2。