应用三次B样条函数插值的边界元法计算结构振动声辐射问题

    1　前　言

    随着科学技术的发展,控制噪声污染已成为环境保护的重要内容。如果在结构的设计阶段就能够计算出辐射噪声的大小,那么,就可以进行低噪声优化设计,以期最大限度地降低结构振动引起的噪声。

    但是,对于大多数工程实际问题,结构振动引起的声辐射无法用解析解的形式予以解决,因而利用各种数值方法求解结构振动声辐射就成为人们解决这类工程问题的主要方法。边界元方法由于具有降维、适应无限域问题等特点,因而成为解决结构振动声辐射问题的一种有效的方法。在振动体表面振动速度已知的情况下,利用Homholtz方程,通过对振动体边界表面的剖分、插值、数值求积等的处理运算,就可以计算出振动体辐射声场中的声场参数(如声场中某一点的声压、媒质质点的振动速度、声强等),从而以数值解的形式解决了结构振动声辐射的计算问题。

    2　计算结构振动声辐射的三次B样条插值边界元法

    结构振动在理想流体介质中引起的小振幅简谐声波的声辐射问题可通过如下边界元法公式予以计算:

    其中:P是分析域内边界上任一点;5(p)为P点的速度势函数;55/5n为5在边界#上的法向导数,由已知振动体表面振速决定;c(P)为奇性系数;5*为基本解,本文采用N点处单位点源在自由空间X点处产生的速度势函数作为基本解,则对于三维声辐射,

    相应的速度势函数梯度计算公式为:

    如果用速度势函数及其梯度来表示声场中某点处的声压P和质点振速V→,那么,

    至此,已经扼要地列出了利用边界元方法计算结构振动声辐射的有关列式。但是,工程中绝大多数声辐射问题无法用解析解的形式求解,所以还需要在此基础上通过几何剖分和变量插值,把无限自由度问题化为有限自由度问题后才好做数值分析工作。

    几何剖分的原则跟有限元法相同,插值方法也跟有限元法中的一样,本文采用目前应用较多的三次B样条函数插值。

    在空间问题中经过几何变换,将原边界上的歪扭网格映射为G-N平面上的矩形网格。如图1所示。则(q1,q2)结点处的二维三次B样条插值形函数值表示为:

    其中,Nq1(G)和Nq2(N)分别是在G和N方向的一维三次B样条插值形函数。

    对于一维三次B样条插值,设经过几何变换将原边界曲线映射为单位结点距的G直线,如图2所示,其结点数为m+1,编号为q=0,1,2……m;网格数为m,编号为c=0,1,2……m-1。则q结点处的三次B样条基函数7q(G)可表示为:

    其中q=-1和q=m+1结点是为满足端导控制而虚设的结点。

    本文所用三次B样条基函数是标准B样条函数的6倍,则7q(G)具1-4-1特性: