基于平稳小波变换的X射线衍射信号消噪研究

　　1　引言

　　X射线衍射是测定晶体,甚至固体分子结构的最重要工具之一。测定晶体结构主要有:晶胞的形状和大小及晶胞中原子的种类和分布,前者由测定X射线衍射的方向来进行分析,后者则通过各个衍射点或线的强度确定。由于振动、电磁干扰以及电压不稳定等原因,常使X射线衍射信号受到噪声污染,给所测信号的分析带来不便,特别是当测试信号中有弱峰信号情况下,噪声污染使弱峰难以识别。平滑滤波是降低噪声的常用方法,但是X射线衍射测试信号常表现为尖锐的山峰状信号,平滑滤波在去除噪声的同时也会使有用的谱峰变得平滑以及峰形发生畸变。本文利用Haar小波采用平稳小波变换方法,从混有噪声的信号中恢复原信号波形,取得了明显的效果,也为仪器测试信号提纯提供了一个新的方法。

　　2　正交小波变换与平稳小波变换

　　2.1正交小波变换

　　对于信号的离散正交小波变换,Mallat给出了快速金字塔算法,若fk为原始信号序列,令cj=fk(实际应用中常以c0=fk作为计算的初始信号序列),则信号的正交小波多分辨率分析为:

　　式中, c _j+1为逼近信号;d _j+1为细节信号;H为低通滤波器;G为带通滤波器;Dε为下抽样算子,其过程如图1a所示。

　　相应有信号的重建公式为:

　　或将式(2)写成:

　　式中,H*和G*分别是H和G的对偶算子;Zε为补零插值算子;Rε为对应的重构算子,其过程如图1b所示。当上述过程中ε=0时,D0表示偶位置上的下抽样,Z0表示偶位置上的插值补零,R0为对应的重构算子;当上述过程中ε=1时,D1表示奇位置上的下抽样,Z1表示奇位置上的插补零,R1 为对应的重构算子。上述小波变换算法称为下抽样离散小波变换(decima2ted DWT)。

　　2.2平稳小波变换

　　G·P·Nason和B·W·Silverman提出平稳小波变换方法,并将平稳小波变换应用于数理统计领域。平稳小波变换与正交小波变换有着内在的联系,若正交小波滤波器H、G的滤波器系数分别为hj和gj,则H^[r] 、G^[r]的滤波器系数分别为Zrh和Zrg,Zr为插值补零算子,即(当k不等于2r的整数倍);(当k不等于2r的整数倍)。H^[r]与H^[r-1]以及G^[r]与G^[r-1]的关系如图2所示。

　　若fk为原始信号序列,令a0=fk,H^[0] =H,G^[0] =G,则信号的平稳小波变换分解为:

　　式(4)表明,在信号平稳小波变换过程中不采用下抽样处理,每次平稳小波变换的逼近信号和细节信号长度与原信号长度相同;平稳小波变换的逆变换过程如下:令aj(ε1,…,εj)及bj(ε1,…,εj)分别为对平稳小波变换逼近系数aj和细节系数bj依次进行Dε1,…Dεj的j次下抽样后的信号,每次下抽样可以是奇位置抽样,也可以是偶位置抽样,即εj可取0和1,因此,ε1,…,εj有2j不同的0,1组合,表示有2j种奇位置、偶位置抽样组合方式。