分布参数压电层合梁的振动主动控制

　　1 引言

　　振动主动控制方法已被广泛应用在柔性结构的振动控制中,特别是近年来压电陶瓷、压电薄膜等压电层合材料制作作动器和传感器,对柔性结构振动控制技术的研究已成为该领域的研究热点。在压电层合梁上,Crawely[4]作了许多开创性的工作,他们建立了压电耦合梁的分析理论,并利用速度反馈实现了振动主动控制实验。Baz和Shen[1~3]分别建立了智能约束阻尼层的数学模型,该模型由基层梁、粘弹性材料层和压电层构成。还有相当多的文献[5]研究了悬臂梁的振动控制。

　　2 系统的运动方程

　　考虑一粘贴压电材料的压电层合梁,其上表面粘贴一压电陶瓷片,如图1。该梁是一矩形截面梁,其长度、高度和宽度分别为l、h、b;压电陶瓷片的长度、高度和宽度分别为lc、hc、b;该梁和压电陶瓷片的材料特性参数分别为弹性模量Eb、Ec;质量密度Qb、Qc;截面面积和截面惯性矩分别为Ab、Ac和Ib、Ic。压电层合梁作用均布载荷f(x,t),下标b、c分别表示基层梁和压电陶瓷片。

　　对于这样的压电层合梁,假定压电陶瓷片与梁理想粘贴;梁与压电陶瓷片的横向变形w和纵向变形相等,压电陶瓷片和梁的剪切变形忽略不计,利用哈密顿原理可建立压电层合梁单元的动力学方程。下面首先推导压电层合梁单元变形过程所作的功。

　　2.1 压电层合梁系统的能量

　　压电层合梁系统的能量由系统的动能和势能两部分组成,系统的动能为

式中(.)是一对时间t微分的算子,H是Heaviside函数。

　　系统的势能分为该梁的应变能V1和压电陶瓷层的总能量V。梁的应变能为

　　由于压电陶瓷材料的机电耦合特性,压电陶瓷层的总能量V由压电陶瓷层的应变能V2和机电耦合能V3组成。总能量V可表示为

式中Rc、Ec、E3、D3、?V分别为压电陶瓷片的应力、应变、电场强度、电位移和压电陶瓷片的体积。d为压电层中心到基层梁中心的距离,d=(hc+h)P2。由压电材料的第二类方程组,可得压电陶瓷片的应力和电位移与应变和电场的关系为

式中e31、E33分别为压电应力常数和受介电常数。对于一维连续压电层合梁,压电应力常数为e31=Ecd31,d31为压电应变常数。

　　将式(4a)、(4b)、(4c)代入式(3),并整理可得压电陶瓷层的应变能V2和机电耦合能V3的表达式,压电陶瓷层的应变能V2和电能V3分别为

　　2.2 压电层合梁系统运动方程

　　依据广义Hamilton原理,压电层合梁系统的运动方程满足如下定常条件,即

　　将式(1)、(2)、(5a)、(5b),(6)代入式(7),完成变分推导和分部积分计算,并整理可得出以Dw和Du为独立变量的计算结果