基于有限条模型的板结构振动主动控制设计

　　振动主动控制是通过对结构主动施加控制作用来改善系统动态特性的一种好方法,但由于它是对受控结构实施实时控制,因此要求具有极快的信息传递和处理速度,以使控制的时滞在允许的范围之内.以往的主动控制大部分是基于有限元模型的,质量和刚度矩阵的阶数很大,使计算有一定的困难.本文采用有限条方法建模,并结合独立模态控制法,能大大减少控制设计的计算量,从而减少计算时间,改善主动控制系统的性能.

　　1 板结构振动有限条法建模

　　由于板结构形状规则,本文拟采用有限条法建模.有限条法和传统的有限元法的主要区别在于:有限元法沿各个方向采用多项式的位移函数,而有限条法只需沿某些方向采用简单多项式,沿其他方向则为连续可微的级数,并规定此级数必须满足条的端部的边界条件.

　　两端简支薄板,沿x方向划分为若干条,条长度为a,宽度为b,条之间由节线连接.则位移函数为:为位移函数的多项式部分; Ym为级数部分;r为所取的级数项数.

　　由梁的振动微分方程Y(4)=(L⁴/A⁴) Y及边界条件

　　可以证明,当mXn时, [K]mn=0,[M]nm=0,实际上[M]和[K]是准对角矩阵,这样,可以把[M]和[K]对角线上的r个子矩阵分别单独分析设计,从而达到降低矩阵阶数和设计维数的目的,大大降低了计算模态矩阵难度.

　　通过有限条建模得到结构的质量和刚度矩阵[M]m和[K]m(m=11,22,,, rr),则无阻尼系统运动微分方程为

　　2 用独立模态控制法对模型进一步降维

　　将式(3)转化到模态空间下,得

式中,[Φ]m为模态矩阵;[Φ]mum=Um为模态控制力.利用非耦合控制,式(4)的各个分量可以化为s个标量微分方程,s为所控制的模态数.即

　　3 用线形二次最优算法求控制反馈量

　　通过以上变换,已经把二维薄板的振动主动控制问题转化为rs个标量的控制设计问题,应用极点配置或最优控制等方法可以很容易地计算出反馈量.本文采用线形二次最优算法进行计算.由式(5),构造性能指标

　　4 算例与分析

　　取长宽各为1m,厚0.05m的钢板,两端简支,离散为20条,进行仿真计算.

　　当取不同的级数项和模态项时,相应的模态在无控制和有控制时的单位冲击响应如图1~3所示,其中S为板上最大振幅点的振动响应.可以把i和j的取值组合看作有限条模型的广义模态.

　　从图中可以看到,因为忽略阻尼,所以没有进行控制的板结构各个模态下的冲击响应是简谐振动,而主动控制使板结构的冲击响应迅速衰减.