全特解场边界元方法在声辐射逆问题中的应用研究

　　引 言

　　噪声控制是自工业发展以来人们一直不断努力的目标,最积极的治理噪声的方法是从声源上根治噪声。这就需要深入地了解声源振动情况与所辐射噪声之间的关系,由后者确定前者的这类问题被Turchin et al.[1]归类为“逆问题”。在声辐射的逆问题中,一个主要的困难就是病态问题,导致了在外声场测量中的任何轻微误差都会引起对表面声学特性估计的较大变动。

　　从Helmholtz方程入手的边界元方法在声辐射问题的研究中已有着比较成熟的发展,目前有一种称为全特解场边界元的方法[2]在声辐射问题中应用较好,它采用全特解场方法构造全特解矩阵以求原积分方程中的未知系数矩阵。这种方法不需要变量插值、积分求解及奇性处理,因而计算量大幅度减少,且计算精度高,是一种行之有效的好方法。本文借鉴于这种方法,将之使用于逆问题。

　　1 全特解场边界元方法的边界量解算

　　假设将边界剖分为若干单元,单元内对变量插值,并经数值积分即可将边界积分方程按边界分块后写成[3]:

式中U1和P1, U2和?P2分别为给定位移边界S或给定面力边界S上的结点位移、结点面力分量列阵,上杠号表示已知量,将上式依照未知量分别归并,得出该问题的边界元定解方程

　　这里的X和Y都是BN维矢量,N是边界结点总数,B是参数个数,而矩阵A和B都是BN×BN阶的。

　　全特解场方法的要点在于要建立βN个特解场,分别对应X和Y矢量构造两个全特解场矩阵X和Y,它们都是βN×βN阶矩阵(其列向量分别代表X和Y的βN个特解),将X和Y引入式(2),有A?X=B?Y,由此解出A^-1B=XY^-1再代回去(2)就可得出全特解场方法的边界量解算公式X=XY^-1Y,这样就完全避开了矩阵A和B的直接计算。

　　2 在声辐射逆问题中的边界量解算

　　声学中,在无限均匀流体介质中,振动物体光滑表面为S,它所围成的区域为D+,外区为D-,见图1。振动波向外辐射,形成声场分布。

　　.2为laplace算子,k=ω/c为波数,速度势函数U有关的声学量之间的关系为为声压, V为质点振速,ω为振动角频率,ρ为介质密度,j为复数符号,U(q)为S面上的q点处速度势,nq为S面上q点的外法线向量, Vq为S面上q点的法向速度,SR为包围物体的半径为R的大球面。联立方程的唯一解,即:

　　(6)式中的第一式称为外部积分方程,第二式称为内部积分方程,第三式称为表面积分方程,对于外部积分方程和表面积分方程,对积分曲面S进行离散,划分成N个边界元,这些边界元上的速度势构成列向量,记为{Φq},其法向导数列向量记为在声场中选择M个点,这些点上的速度势构成列向量,记为{ΦQ},则(6)式的一、三式可写为: