压电智能结构的阻抗法建模

　　采用压电智能结构的振动主动控制问题成为减振、降噪控制领域研究的一个热点.在进行压电材料控制振动的问题中,如何精确地建立压电结构的计算模型是其中的关键.在通过解析法建模的研究中,许多学者采用基于静态分析的建模方法,如文献[1~5]中所述.静态分析中一般假定压电作动器本身对被控结构的质量、刚度无影响,它对结构的作用等效于静态的分布弯矩,因此,压电材料在外加电压激励下产生的应力和应变以及对结构的作用弯矩是与激励频率无关的,这显然与实际情况有相当的差距.在静态分析的基础上,近年来,又发展了一种动态分析的方法.文献[6]中考虑了压电材料的附加质量和刚度的影响,利用Rayleigh-Ritz能量方程建立了压电悬臂梁的动态模型;文献[7,8]利用基于阻抗分析的方法建立了一维压电结构的动态模型,并与实验结果相当吻合.本文采用阻抗分析法对表面粘有压电材料的四边简支矩形薄板进行分析,推导了建模的过程,并进行了数值仿真计算.

　　1 用阻抗法对矩形压电薄板建模

　　考虑如图1所示的二维压电智能板结构,a和b分别为压电片的长度和宽度,h为压电层的厚度,u和v分别为压电板在外界电场E作用下沿x和y方向的动态位移.根据阻抗法一般方程,对于二维结构x和y方向的激振力为

式中:Zmn(m,n=x,y)定义为m方向上激振相对于n方向上响应的机械阻抗.对于压电材料其应力与应变的关系可以由压电材料基本力学方程得到

式中分别为x和y方向的应变和应力; Y^/为压电材料的复杨氏模量,可由实杨氏模量通过式(3)计算得到;L为压电材料的泊松比;d31和d32为压电常数.

式中:Y为实杨氏模量;η为结构的损耗因子.并且注意到应变与位移的关系

　　为了对式(6)进行进一步的分析,从压电板中取出微元体dS,如图2所示.

　　假设微元体处于平面应力状态,其x和y方向的力平衡方程为

式中:ρ为材料体密度;为剪应力.

　　将上述方程进行整理,并忽略剪切应力沿坐标轴的变化[6,7],可得

　　将式(6)中的两个方程分别对x和y求导,并假定电场强度在整个压电板平面上均匀分布,代入式(9),忽略剪切应力沿坐标轴的变化[6],得到

式中:Ax1,Ax2,Ay1和Ay2为待定系数.

　　在贴有压电陶瓷区域,位移边界条件如下:

　　由压电材料基本力学方程式(2)推导的由外电压引起的应力,在边界上可以表示为

　　通过式(11)以及式(1)、式(6)可求得待定系数Ax1,Ax2,Ay1和Ay2.