椭球反光镜的光线追迹

    一、前言

    由于科学技术的进步,促使各种新型光源不断涌现,它们的发光效率越来越高,寿命越来越长,如何充分利用光源辐射的光能是直接关系到相关照明系统质量水平的关键问题。通常我们对照明系统的技术要求主要是:高亮度、高均匀性和良好的节能能力,因此对聚光元件的设计十分重要。椭球反光镜具有良好的聚光性能,虽然在照度均匀性方面有一定的缺陷,但它仍然是很多照明系统中(特别是电影放映机)应用最广泛的反光镜类型。现在较为流行的锥轴(也称为移轴、非共轴)反光镜实际上是由椭球反光镜派生的。在电影放映机中,反光镜与短弧氙灯组合构成了最常见的照明系统。因为投射到银幕上的光通量和照度均匀性是评价放映效果的重要指标,而反光镜在这里又起到十分关键的作用,因此,研究分析椭球反光镜的设计,对于了解其他类型的反光镜设计或者是放映机生产厂家对反光镜的选用都有良好的借鉴作用。

    本文主要介绍如何通过对光源发出光线的追迹设计椭球反光镜。

    二、椭球反光镜的基本理论

    我们知道,椭圆的定义是:到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹。椭球面就是椭圆围绕对称轴旋转一周后形成的。如果椭球的一个顶点位于直角坐标系原点,则椭球的表达式为:

    其中: a、b分别为椭球的长、短轴, a与OX轴重合。由于曲面以OX轴对称,为研究问题方便,我们取Z=0截面与椭球的相贯线,即包含OX轴的子午面作为研究对象。此时椭球的方程为:

    f1、f2分别是椭圆的第一焦距和第二焦距。

    将式(2)、(3)代入方程(1),椭圆方程也可以写为:

    由椭球的性质可以知道,其两个焦点为一对共轭点,也就是说,从第一焦点发出的光线必然汇聚于第二焦点(图1),反之亦然。这一点是我们讨论椭球反光镜设计的基础。

    三、椭球反光镜轴外点的成像性质

    尽管理论上椭球的两个焦点是一对光学共轭点,在第二焦点所成的光源像并无像差存在。但在实际情况中,由于光源的发光点是有一定的体积的,所以不可避免的存在一定的像差。常用的电影放映机光源氙灯虽然被称为/点光源0,但实际上,它的发光点直径为1-2mm,而且氙灯在发光时发光点附近还会产生副光区,其发光体积是比较大的。因此,椭球反光镜作为聚光元件必须考虑轴外点的成像情况以及垂轴放大率的表现形式。

    如图2所示,若轴外点A以很小的角度入射,例如在顶点O处入射,这时入射点处曲率半径与光轴重合,那么A点在第二焦平面处所成的像为A2。由于相似于$OAF1,故有: