一种抑制卡尔曼滤波发散的实时数据处理方法

　　1 引言

　　在水声对抗中，需要对快速目标(如鱼雷)进行实时跟踪，根据时延估计或者方位交汇计算得到的弹道曲线往往起伏很大，为了提高定位精度，引入了卡尔曼滤波器对数据进行滤波处理。在卡尔曼滤波计算中，常会出现这样一种现象：当量测值数目 k 不断增大时，按滤波方程计算的估计均方误差阵趋于零或趋于某一稳态值，但估计值相对实际的被估计值的偏差却越来越大，而导致跟踪结果逐渐偏离真实状态的现象，这种现象称为滤波器的发散。此外，当增益过小时也会导致发散，这时候新的信息量已经由于增益过小而不再具有修正作用了，则可能的情况是滤波越来越偏离真实轨迹，以致发散。

　　2 卡尔曼滤波器的数学模型

　　卡尔曼滤波算法是线性无偏最小方差递推滤波，其估计性能是最优的，而递推计算形式能适应实时处理的需要。设系统的状态方程和测量方程分别为[1]：

　　式中：Xk为k时刻的n维状态矢量，即被估计矢量;准k/k-1为n×n维状态转移矩阵，Γk为n×r维动态噪声矩阵，Wk为r维动态噪声;Zk为系统的m维观测噪声序列，Hk为k时刻量测矩阵(m×n)，Vk为k时刻的m维观测噪声。关于系统过程噪声和观测噪声的统计特性，假定如下：动态噪声(Wk)与观测噪声(Vk)是互不相关的零均值白噪声序列，即对所有的k、j，有

　　式中：

　　Qk为系统过程噪声Wk的r×r维对称非负定方差矩阵;

　　Rk为系统观测噪声Vk的m×m维对称正定方差矩阵。

　　则Xk的估计X赞k可按下述方程求解：状态估计为：

　　最优滤波增益矩阵为：

　　预测误差协方差阵为：

　　滤波误差协方差阵为：

　　滤波器的增益矩阵Kk与观测无关， 因此它可预先离线算出，从而减少在线计算量，提高实时处理能力。给定了初值X赞0和P0，根据k时刻的观测值Zk，就可以递推计算出k时刻的状态估计Xk。

　　实际应用中，卡尔曼滤波器常常会出现发散。引起滤波器发散的主要原因有两点：

　　(1)描述系统动力学特性的数学模型和噪声的统计模型不准确，不能真实地反映物理过程，使模型与获得的量测值不匹配，导致滤波器发散。这种模型过于粗糙或失真引起的发散称为滤波发散。

　　(2)卡尔曼滤波是递推过程，随着滤波步数的增加，舍入误差逐渐积累。如果计算机字长不够长，这种积累误差有可能使估计的均方误差阵失去非负定性甚至失去对称性，使增益阵的计算值逐渐失去合适的加权作用而导致发散。 这种由计算舍入误差积累引起的滤波器发散称为计算发散。