均布荷载作用下悬臂深梁应力计算方法

　　工字形截面悬臂梁是工程中应用比较多的一类梁,当其跨高比介于3~8之间时,通常被称为深梁。当悬臂梁上翼缘作用有均布荷载时,横截面不仅有正 应力,而且有剪应力,故梁的横截面将发生翘曲。各横截面剪力的不同导致不同步翘曲,相邻横截面的纵向纤维发生拉伸或压缩,从而影响弯应力的分布。用材料力 学中的细长梁纯弯曲理论计算其应力时,没有考虑翘曲的影响,从而造成了较大的误差。

　　目前国内外学者对深梁应力计算的研究大多针对矩形截面深梁[1-8]。工字形截面深梁的截面复杂,其应力分布所受影响因素较多,应力不易求解。 本文在文[9-12]的基础上摈弃材料力学的基本假设,并考虑弯剪耦合效应,推导出悬臂深梁在横向均布荷载作用下的应力解析计算公式,并分析了双轴对称工 字形截面悬臂深梁的剪力对弯应力的影响规律。

　　1　工字形截面梁截面特征

　　工字形截面深梁的截面形式如图1所示。其中:上翼缘的面积为A1,距中性轴的距离为h1,对中性轴的面积矩的绝对值为S1;下翼缘的面积为 A2,距中性轴的距离为h2,对中性轴的面积矩的绝对值为S2;梁高度为h,腹板的面积为Af,高度为h0, I为整个横截面对中性轴的惯性矩。工字梁腹板厚度取单位厚度,令

　　则可算得

　　2　应力计算公式的推求

　　取悬臂深梁梁长为l,不计体力,上翼缘承受均布荷载,荷载集度为q,由于翼缘很薄,为了反映工字形梁的受力机理,将上下翼缘与腹板隔离开,研究腹板的受力机理,其计算简图如图2所示。

　　τ1、τ2分别为上下翼缘施加给腹板的切应力,建立如图2所示的直角坐标系,可得到任一横截面上的剪力和弯矩为

　　则可算得

　　记弯应力为σx,切应力为τxy,挤压应力为σy。σy是由q引起的,因为在q整个跨长方向为均匀分布,即σy只是y的函数,而与x无关,故设σy=f(y),应用弹性力学中的半逆解法来求解各应力分量,得到

　　其中A、B、C、D、E、F、G、H、K是待定常数,需要根据应力边界条件来确定。考虑上下两个主要边界,应力边界条件为:

　　在次要边界x=0上,由σx合成的主矢和主矩均为0,考虑到腹板和上下翼缘均对主矢和主矩有贡献,则积分边界条件为

　　在次要边界x=0上剪力亦为零,即

　　将弯应力公式和切应力公式分别代入式(6)—(8)中,并令

　　可求得:

　　本文所研究的工字形截面悬臂深梁,各横截面剪力的不同导致了相邻横截面发生不同步翘曲,从而纵向纤维发生拉伸或压缩,将在横截面上引起附加的弯应力(暂且称为弯剪耦合效应)。本文提出用附加的翘曲正应力对弹性力学解答进行修正。