空间曲杆小变形问题自然标架的矩阵分析解

　　空间曲杆的小变形问题是一个由来久远的理论和工程问题^[1-2].对于这个问题,已经发展形成了一套较为完好的理论,也发展了相应的有限元算法^[3-5].尽管如此,时至今日,空间曲杆小变形问题的几何方程的导出结果仍是大同小异的状态^[5-7],相应的通解难于得到完好的解析式.针对这两个问题,采用虚功方程为出发点,导出了几何方程;用矩阵形式给出了全部问题的通解的显式.

　　1　挠曲线的自然标架

　　设空间曲线是一空间曲杆的轴线,弧长坐标s自端点O起算,其区间为(0, l).弧坐标为s处,切线、法线和次法线单位矢量分别记为ex、en和eb.它们组成曲线的自然标架,如图1中所示.对于足够光滑的曲线,下列公式成立

　　2　内力和静力平衡方程

　　小变形状态下,弧坐标为s处,截面的内力在标架es、en、eb上的分量分别记为Ns、Nn、Nb,分别称为轴力、n向切力和b向切力.截面的 内力关于轴心点O′的矩3个分量分别记为Ms、Mn、Mb,分别称为扭矩、sO′b面和sO′n面内的弯矩.作用于轴线上的等效外力和等效外力矩在标架 es、en、eb上的分量分别记为qs、qn、qb和ms、mnmb,容易导出杆元的平衡方程,参见图2.

　　它表示弧坐标为s=0处截面的内力关于中心的矩在标架ix、iy、ic上的3个分量.

　　3　虚功方程和几何方程

　　设ε、γn、γb和ks、ksks分别是与内力Ns、Nn、Nb和Ms、MnMb功共轭的广义应变; us、us、us和φs、φnφb分别是与载荷qs、qn、qb和ms、mnmb功共轭的广义位移,那末虚功方程可以写为　

　　余类推之.由于引入了剪应变γn和γb,这个方程已不再受平截面假设的限制.

　　为了导出几何方程,用广义位移的变分构成如下乘子

　　将之分别与平衡方程(7)和(8)两端点积,两端分别相加,对s完成区间(0, l)上的积分,利用分部积分方法,可以将得式改写成式(17)的形式

　　将方程(22)、(23)与方程(9)、(13)比较,可以看到,两组方程有相同的数学结构.

　　4　本构模型与广义位移的同解

　　对于无初应力的空间曲杆,如果取等效本构方程为如下齐次形式

　　它们分别表示弧坐标为处截面的转角和轴线上点的位移在标架ix、iy、iz上的3个分量.这样一来,得到用12个积分常数表示的空间曲杆的小变形问题通解.

　　参考文献:

　　[1]　LOVE A EH, A Treatise on theMathematicalTheory ofE2asticity[M]. New York:Dover, 1944. 18-21.

　　[2]　Timoshenko S. Theory ofelastic stability.NewYork:McGraw2HillBook, CoInc., 1932.