一种逆优化设计振动控制作动器的数目和位置的方法

　　1　引言

　　振动主动控制方法已被广泛应用在柔性结构的振动控制中.特别是近年来利用压电陶瓷等智能材料制作的作动器和传感器的广泛应用,使得振动控制技术已经成为该领域的研究热点.在压电层合梁方面,Crawlery等[3]作了许多开创性的工作,他们建立了压电耦合梁的分析理论.另外还有相当多的文献[1~6]讨论了智能梁的振动控制.另一方面,在控制系统的设计过程中,合理选取控制增益参数、优化设计作动器/传感器的位置,以及最少作动器/传感器的数目仍是一个重要问题.

　　本文提出一种逆优化设计作动器/传感器的数目和位置的方法,以压电陶瓷作为作动器/传感器,以悬臂梁的振动控制为研究对象,要求振动控制系统具有一定的模态阻尼比,优化设计作动器/传感器的数目和位置.通过数值算例证明了该方法的有效性.

　　2　系统的运动方程^[5]

　　考虑一粘贴压电材料的压电层合梁,其上表面粘贴m个压电陶瓷作动器,如图1.该梁是一矩形截面梁,其长度、高度和宽度分别为l、h、b;压电陶瓷片的长度、高度和宽度分别为lc、hc、b;该梁和压电陶瓷作动器的材料特性参数分别为:弹性模量为Eb、Ec,质量密度为ρb、ρc,截面面积和截面惯性矩分别为Ab、Ac和Ib、Ic.压电层合梁作用均布载荷f(x,t),下标b、c分别表示基层梁和压电陶瓷片.

　　对于这样的智能梁,假定压电陶瓷片与梁理想粘贴,梁与压电陶瓷片的横向变形w和纵向变形u分别相等,压电陶瓷片和梁的剪切变形忽略不计,利用哈密顿原理可建立压电层合梁单元的动力学方程.系统动力学方程为[5]

式中H是Heaviside函数.

　　该方程基层梁在x=0和x=l处,满足一般的力学边界条件.压电陶瓷层在x=xi和x=xi+lc处,满足如下边界条件

式中e31、E3i分别为压电应力常数和电场强度函数.这里压电应力常数为e31=Ecd31,d31为压电应变常数.d为压电层的中心到基层梁的中心距离,d=(hc+h)/2.

　　由对运动方程(1)、(2)、(3)观察可得出,压电作动力对梁的振动响应的影响并不是通过梁的运动方程,而是通过压电层合梁的边界条件(3a)和(3b)改变系统的响应.因此,压电层合梁的振动控制是一种边界控制.

　　为了设计稳定的控制器,定义一压电层合梁系统的总能量函数En,它是由压电层合梁系统的动能和应变能组成.对压电层合梁系统的总能量函数En关于时间求导,当外载荷f(x,t)=0时,系统的总能量函数En的变化率可表示为

式中.En是压电陶瓷层由于压电效应而产生的耗散功率.

　　只要使.En<0,则压电层合梁系统的能量是递减的,闭环控制系统是稳定的.基于压电陶瓷具有自传感和作动的性能,一种简单合理的控制器设计可保证控制系统的稳定.即