一种悬臂方形薄平板共振模态理论分析方法

    0 引 言

    悬臂薄平板结构是机械工程领域的一种常见结构，该结构广泛应用于飞机制造领域之中，如机翼、太阳能板等[1]。然而该结构在外界激振源的长期激振下容易发生变形，严重的变形会引起薄板结构的损坏。因此，研究悬臂薄板结构的共振特性，对于机械设计和制造有非常重要的意义。目前针对悬臂薄板的共振模态分析主要有数值计算法[2]，有限元分析法[3]和实验法[4]。利用数值分析方法求解被测物的共振模态需要严格的边界条件，而对于本文所述的悬臂薄板，理论上只能利用瑞利-利兹法[5]得到近似解。有限元分析法是将被测板分割成若干无限小的单元进行分析，该方法能够分析复杂形态物体在不同边界条件下的共振模态，但需要消耗大量的时间，且无法在线测量。实验法是一种精确的分析方法，包含激光多普勒测振法[6]和振幅波动电子散斑干涉术[7](Amplitude-Fluctuation Electronic Speckle Pattern Interferometry，AF-ESPI)两种， 前者需要逐点地测量被测薄板，因此精度和速度都依赖于被测板的测量点数，当测量点选取较多时，会严重影响测量速度。后者是在时间平均法[8]和现有 ESPI[9-10]测量方法的基础上，采集被测物体振动时两个相邻时刻的图像并相减，从而获得高对比度的散斑干涉条纹，得到被测振动频率下的平板的变形信息。虽然人们利用 AF-ESPI 方法研究了多种不同边界条件下压电陶瓷薄板的共振频率和薄板振形[11-13]，但是这些文献中并没有给出振动模态的完整的理论公式，特别是对于悬臂方形薄板，没有在理论上计算出散斑干涉共振条纹的光强分布，仅将测量结果和有限元分析结果进行比较。对于悬臂方形薄板，应用瑞利-利兹法时，关键是选取适当的方程去描述水平和竖直两个方向的振动情况。文献[14]提出利用双曲正余弦函数去描述挠度方程，但是该方法求解较难；文献[5]提到利用 Gram-Schmidt 过程构造的正交多项式去描述，但是并没有给出具体的挠度理论公式，也没有从实验的角度去验证理论的正确性。为了实现悬臂方形薄板的共振模态分析并更好的诠释 AF-ESPI 技术在悬臂方形薄板共振模态分析中的应用。本文首先构造了一组正交归一化多项式去分析悬臂方形薄板的共振模态，在此基础上求解了不同共振频率下的 AF-ESPI 系统理论上的散斑共振条纹分布。为了验证理论模型构建的准确性，本文搭建了AF-ESPI系统，利用该系统对150 mm长 1 mm 厚的悬臂方薄板进行振动模态分析，得到前 8 阶共振频率以及相应的共振干涉条纹分布，实验结果验证了我们提出的理论模型的正确性。

    1 散斑共振条纹分布的理论模型