面向低噪声设计的结构动力学拓扑优化研究

    近年来，以系统的动态响应作为目标或约束的动力学优化设计逐渐引起人们的关注［1］。目前结构动力学优化所采取的思想一般是在保证结构精度和质量要求［2］的前提下，尽可能地提高结构的固有频率，或者使其保持一定的频带; 而另一种优化的目的则在于保证结构固有频率或振型要求的条件下，使结构质量极小化，降低工程造价的同时保证结构可靠性［2 －4］。针对后者，对以结构表面辐射声功率［5］最小为目标函数的动力学优化问题进行了研究，提出了一种以降低结构噪声为目的的动力学拓扑优化方法。

    1 动力学响应方程的求解及灵敏度分析

    谐波激励是重要的动载荷之一，是其他形式载荷激励分析的基础［6］，以谐响应分析为基础，研究连续体结构在谐波载荷激励下的动响应情况并开展动力学拓扑优化分析，目标函数是结构整体辐射声功率的极小值，对于具有某时间平均和空间平均的均方根振动速度的任意结构，辐射声功率为:

Π = σρ0cS ＜ u2＞ ( 1)

    式中: Π——— 结构的辐射声功率;

    S——— 结构的辐射表面积;

    ρ0——— 流体介质( 结构向其辐射) 密度;

    c——— 流体介质中的声速;

    σ——— 辐射比;

    ＜u2＞ ——— 振动速度的均方根。

    假定辐射比 σ、密度 ρ0和声速 c 已知，一个结构的辐射声功率求解问题可以转化为对结构表面振动速度的求解问题。谐波激励下的结构动力学方程为：

    MX¨+ CX·+ KX = Fejωt( 2)

    式中: M，C，K——— 结构的质量、阻尼和刚度矩阵;

    X，X·，X¨——— 结构的位移、速度和加速度;

    F——— 简谐激励的幅值;

    ω——— 简谐激励的频率。

    对于小阻尼系统［7］，结构阻尼可以表示为:

C = αM + βK ( 3)

    式中: α，β——— 比例系数。

    假如用 Φ 表示结构的模态振型，p 表示模态坐标，则结构位移响应可以表示为:

X = Φp( 4)

    在动力学优化中，通常可以假设两个设计迭代步的模态振型变化很小，也就是可近似认为两个设计迭代步的模态振型一致。因此，假设在删除第i个单元后，结构的模态近似不变。