球度误差的新算法及程序

　　一、关于球度

　　球形工件的球度(或称球面度)误差,主要通过球度仪、三坐标测量仪等仪器测量计算获得。球度的评定准则有四种,分别是“最小区域球”、“最小二乘方球”、“最小外接球”和“最大内接球”,都可以用以评定现实中球形物体与理想球的接近程度,如图一。对于后三种,人们比较容易找到相应的计算方法。唯独对“最小区域球”的评定准则,人们仍在继续探索以期找到更好的算法。

　　“最小区域球”表述为:包容球形体外轮廓面且半径之差为最小的二个同心球,其半径差值即为球度误差值,如图二所示的D值。但对于如何找到这二个使得半径之差达到最小的特殊同心球,国标只给出了评定准则,没有给出具体的算法。有些专业人员从概念出发,找到了一些获取“最小区域球”的算法,计算结果优于“最小二乘球”、“最小外接球”和“最大内接球”等算法。这说明,相对于那三种方法,用“最小区域球”意义上二个同心球来评定球度才是最适宜的,符合“最小条件原则”。

　　众所周知,对于测量得到的同一组样本点,计算出来的球度误差值越小,就越是好算法。本文试图另辟蹊径,寻求一种新的计算球度的“最小区域球”法,其每一步计算都以降低同心球半径之差为目的,计算过程符合“最小条件”原则,不断向球度真值逼近。

　　二、新算法的中心思想

　　一般而言,我们是通过测量球形物外轮廓面上有限个点,来描述球面的,这些点比较均匀地分布在外轮廓上。测点越多、越密,越逼近外轮廓面的实际。我们的问题锁定在这些由测量获得的n个点P1~Pn,寻求“最小区域球”就转化成寻求“包容测量点P1~Pn且半径之差为最小的两个同心球”的算法。

　　换一种说法,就是要寻找一个点O(两个同心球的球心),使各点Pk(k=1~n)至O点距离的最大值与最小值之差,达到最小。不能精确找到O点,也要尽可能地逼近它。

　　首先假定我们已经获得初步的球心O(x0, y0,z0), (这可以通过/最小二乘法0求得,或者简单地计算x0=Exi/n、y0=Eyi/n、z0=Ezi/n而得到),设点集Pk(xk, yk, zk)(k=1~n)距O的最近点为Pi,最远点为Pj,把O、Pi、Pj三点构成的三角形称为/特征三角形0,如图二所示。两个同心球的半径分别为ri=OPi,rj=OPj,二者之差D= rj-ri。现在问题的焦点是:球心O点朝什么方向移动、移动多大的步长,能使新的球心所对应之新D值,有可能降下来。现就“移动方向”、“移动步长”这两个焦点问题分别作如下探讨。