悬臂压电梁自由端受集中力的解析解

    1　引言

近年来,压电材料在智能结构中的应用日益受 到重视。压电材料具有压电效应,即当它受到外力 时不仅产生机械变形,还能产生电势;对它施加电压 时,又能改变材料尺寸。因此,压电元件既能当智能 结构的传感元件,又能作为驱动元件[1]。

目前,对具有机电耦合性能的压电材料的力学 分析是压电材料研究的一个重要内容,其研究途径 主要有三种[2]:(1)寻求三维精确解;(2)简化后求 理论解析解;(3)用有限元、边界元等方法计算数值 解。

本文按第二种方法从压电弹性介质三维本构方 程及平面应力条件下的简化物理方程出发,求出了 悬臂压电梁在没有外加电场情况下自由端承受集中 力时位移、电势的解析表达式,并且与有限元的计算 结果进行了比较。

    2　基本方程

当不计体力和不存在自由电荷时,三维压电理论的控制方程为[3]

其中,i,j,k,l=1,2,3,而σij,Di,εij,uj,Ei和Φ分别是 应力、电位移、应变、位移、电场强度分量和电势, Cijkl,gik和ekij分别为弹性、介电和压电常数。在极端 各向异性下压电介质独立的性能常数为21+16+ 18=45个。本文仅考虑应用较为广泛的PVDF薄 膜或PZT陶瓷这一类常用材料,若沿z轴正向极 化,则x-y平面成为各向同性平面,压电介质呈现 横观各向同性性质,其性能常数变为5+2+3=10 个。

在工程应用中,弹性压电介质一般并不用作结 构的承载部件,而只是作为附着在结构上的感测与 驱动元件,通常制成薄膜层粘贴在结构上。因此往 往可以简化为x-z或y-z平面内的平面问题。以 x-z平面内的平面应力问题为例,基本方程变 为[4~6]

1)静力平衡方程(无体力作用)

上面式中σ、ε、D、E分别表示应力、应变、电位移、电 场强度,u、w、φ表示位移和电势,Sij、dij、eij分别表示 压电材料的短路柔度系数、压电应变常数和压电应 力常数,cij、gij、gpij分别表示短路刚度系数、自由介电 常数与夹持介电常数。

    3　悬臂压电梁自由端受集中力的解析解

图1为沿z轴极化的压电梁。如前所述,在 x-y平面内呈各向同性,在x-z平面内呈正交异 性。假定厚度t远小于长度L及高度H,那么可以 作为x-z平面内的平面应力问题进行讨论。 由于没有外加电场,物理方程中的场强E仅是 束缚电荷产生的电场强度,该电场对应力的影响是 很小的,故可以考虑用非压电材料的弹性应力解作 为此压电梁的应力来作试探: