基于线性互补原理的干摩擦振动系统非光滑数值算法

    引　言

    干摩擦系统是典型的Filippov系统,广泛存在于力学、电学、机械和控制领域中。摩擦定律的间断特性给干摩擦动力学响应的解析分析带来很大困难,而数值方法就成为动力学特性研究的重要手段。在利用常规数值方法如线性多步类方法对干摩擦等非光滑系统进行求解时,算法出现降阶问题,计算精度大大降低[1]。当干摩擦系统出现粘着现象时,常规数值积分器求得的解在精确解附近跳动,却无法达到该精确解,出现数值不稳定现象。针对干摩擦系统数值分析中存在的问题,人们提出了光滑化方法、粘着区判断方法、事件驱动法等解决方案。

    光滑化方法利用反正切、双曲正切或样条函数等光滑函数来逼近干摩擦定律,其关键在于选择合适的逼近因子[2,3],逼近因子越大,光滑函数对原始非光滑模型的逼近越好。但光滑化方法不能描述静摩擦特性,摩擦力是相对速度的单值函数,在求解时会导致粘着状态平衡点丢失。

    粘着区判断方法基于Karnopp模型的思想[4,5],将向量场划分为滑动和粘着区域,并将粘着区内的相对运动速度置零。这种判断方法不引入刚性方程,但粘着带内的运动轨线未受到限制,当轨线靠近粘着带边界时,常规积分器同样可能出现数值不稳定问题[6]。为此,Leine等人提出“开关模型(switchmodel)”方法[7],在粘着带内引入一个向量场以引导轨线趋向粘着带中心,远离粘着带边界,从而避免数值不稳定问题。但此类粘着区判断方法需要针对摩擦单元逐个进行枚举判断,不利于利用矩阵运算进行整体处理,效率较低。当摩擦单元数目较多时,算法逻辑结构可能会变得非常复杂。

    事件驱动法将干摩擦系统的粘着、滑动及其切换状态转化为用运动参量表示的可监测事件[2,6],通过监测事件是否发生来判断系统的运动状态,在滑动阶段采用常规方法进行直接积分,而在粘着阶段利用粘着特性对方程简化后进行求解。事件驱动法充分表达了干摩擦系统的混合本质,但仍需对摩擦单元分别进行处理,在摩擦单元较多时,需要逐一进行判断运动状态,效率较低,算法稳定性和收敛性易受影响。在干摩擦问题中,相对速度等于零是非常重要的判断条件,但在数值求解过程中利用等式进行判断会遇到困难,限制了此类方法的精度。

    上述各种方法依然存在等式判断困难、数值不稳定、需要枚举计算以及算法逻辑结构可能较为复杂等问题,而非光滑力学理论为干摩及其他非光滑系统的数值求解引入了新思路。非光滑力学对摩擦、碰撞问题采用不等式或者包含的形式进行表达[8],建立了线性互补问题(linear complementarityproblem,以下简写为LCP)、微分包含(differentialinclusion)以及测度微分包含等数学理论框架,为干摩擦、碰撞及单边约束等动力学问题奠定了严格的数学基础。对于干摩擦系统,如果考虑其集值(set-valued)特性[9～11],就可以将干摩擦定律表示为包含形式[6,12],相应的微分方程就成为微分包含。通过求解微分包含,可以对干摩擦问题进行更精确的求解,并能导出相应的数值方法[7,12～16]。利用干摩擦定律的包含特性,将其转化为线性互补关系式,可以对系统中所有非光滑事件进行整体统一处理,无需对不同运动模式进行讨论或者区别对待。在摩擦单元数目很多时,能够减少或不进行非光滑事件枚举分析,避免算法在高维系统应用中出现逻辑结构复杂化问题。