圆锥壳和圆柱壳声辐射模态特性比较

    0 引 言

    对于弹性体的振动研究，例如一块板在简谐力的作用下振动，其结构模态下每一阶的辐射声功率并不是相互独立的，在中低频的情况下，即使降低了最主要的几阶结构模态的振动，其总的辐射声功率并不一定会降低。随着振动问题研究的日趋成熟，人们开始意识到直接用振动结构模态来研究声辐射问题存在不少的缺陷，因此有必要发展一种适用于声辐射问题的模态。

    20 世纪 90 年代开始，Borgiotti［1］，Curfare2］，Elliott［3］，Baumann［4］，Synder［5］等首先提出了声辐射模态的概念。声辐射模态表示结构的固有辐射特性，是结构表面可能的一系列振速分布。根据声辐射模态方法，弹性结构总的辐射声功率可以看作有限个辐射模态的叠加，用声辐射模态研究声辐射问题的优点在于消除了结构模态中复杂的耦合项，使得计算和控制声辐射更为简单。李双和陈克安［6］对结构振动模态和声辐射模态之间的对应关系做了研究，给出了主导辐射模态的概念。姜哲［7 －8］提出了对声辐射模态的改进方法，对平板的主动控制进行了深入研究。吴卫国［9］等基于远场的方法，研究了圆板和矩形板的声辐射模态特性。代路［10］等采用单元辐射器法和基函数法，研究了球形和圆柱形结构的声辐射模态特性。

    单层加筋圆柱壳和圆锥壳是舰艇中的主要结构形式，比较研究二者声辐射模态特性的相关文献还不是很多，本文以有限元法和边界元法为指导，对尺寸相近的圆柱壳和圆锥壳的声辐射模态特性进行研究，对于其振动和噪声的有源控制提供了一定的参考和建议。

    1 声辐射模态基本理论

    把结构表面分成面积相等的 N 个面元，各个面元的表面声压构成列向量 P，面元的法向速度构成向量 v，则 P = Zv。其中 Z 表示声阻抗矩阵，根据互易性原理，Z 是对称矩阵，即 Z = ZT。

    则结构的辐射声功率为

W =ΔS2Re ［vHP］， ( 1)

    “H”表示共轭转置。将 P = Zv 代入式( 1) 得:

W = vHRv。 ( 2)

    式中: R =ΔS2Re ［Z］，为声辐射阻矩阵。

    由于声场的互易性，R 为对称矩阵，又因为辐射声功率恒为正，所以 R 为正定的对称矩阵。矩阵 R 可以作如下的特征值分解:

R = QΛQT， ( 3)

    式中: Λ 为矩阵 R 的特征值 λk( k = 1，2…，N) 构成的对角阵( 根据正定矩阵的性质，故 λk均为正数。) ;Q 为 R 矩阵的特征向量 qk( k = 1，2…，N) 构成的矩阵。