不同边界条件下旋转薄壁圆柱壳的振动特性

    圆柱壳是典型的工程构件之一，广泛应用于航空航天、机械及海洋等工程领域。圆柱壳的振动特性及动力学响应受到许多专家的关注。Ｌｉ［１］采用广义差分法研究了旋转薄壁圆柱壳的固有频率特性，研究了周向波数、转速、几何参数和边界条件对薄壁圆柱壳固有频率的影响。Ｍｏｕｓｌｙ［２］研究了薄壁圆柱壳的固有频率特 性。Ｚｈａｏ［３］和 郭丹［４］等对层合圆柱壳的振动特性进行了系统的分析。Ｌａｍ［５］研究了边界条件对旋转圆柱壳的动力学特性的影响。

    在圆柱壳振动特性研究的基础上，进一步考虑径向激励、轴向激励以及联合激励等，分析圆柱壳的动力学响应。Ｊａｆａｒ［６］和Ｋｈａｌｉｌｉ［７］分别研究了径向激励和联合激励作用下旋转圆柱壳的动力学响应。文［８－９］针对固支－自由边界，分析了旋转圆柱壳的振动特性。Ｚｈａｎｇ等［１０］研究了圆柱壳的非线性动力学特性。

    本文基于Ｌｏｖｅ壳体理论，利用Ｈａｍｉｌｔｏｎ原理建立了旋转薄壁圆柱壳的振动微分方程。采 用Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法对系统进行离散，针对几种不同边界条件，分析了旋转薄壁圆柱壳的内力特性和固有频率特性，探讨了几何参数、边界条件、转速等参数对

固有频率的影响。　

    1  振动微分方程

    旋转圆柱壳模型如图１所示。其中ｈ为圆柱壳的厚度，单位为ｍ；ｒ为半径，单位为ｍ；Ｌ为长度，单位为ｍ；Ω为圆柱壳绕ｘ轴转动的角速度，单位为ｒａｄ／ｓ。采用曲坐标系ｏｘθｚ来描述旋转圆柱壳系统，ｕ、ｖ和分别为圆柱壳在ｘ、θ和ｚ方向上的位移。

    基于Ｌｏｖｅ薄壳理论，并考虑惯性力、Ｃｏｒｉｏｌｉｓ力和离心力，采用Ｈａｍｉｌｔｏｎ原理建立旋转薄壁圆柱壳的振动微分方程如下：

    式（２）中Ｎｘ、Ｎθ、Ｎｘθ为薄膜内力，Ｍｘ、Ｍθ、Ｍｘθ为弯曲内力。

    基于式（２），旋转圆柱壳的振动微分方程可表示为

    其中：ρ为密度，单位为ｋｇ／ｍ３；Ｅ为弹性模量，单位为ＭＰａ；μ为Ｐｏｉｓｓｏｎ比；Ｋ＝Ｅｈ／（１－μ２）为薄膜刚度；Ｄ＝Ｅｈ３／１２（１－μ２）为弯曲刚度。

    式（３）描述了旋转圆柱壳的振动，包含惯性力项、Ｃｏｒｉｏｌｉｓ力项、离心力项和刚度项，可表示为

    其中Ｌｉｊ（ｉ，ｊ＝１，２，３）为微分算子。