实验测量声辐射模态

    引　言

    由结构的振动引起的声辐射问题是声学中一个长期的研究课题。20世纪90年代以来,有学者提出通过声辐射模态研究结构振动的声辐射[1～4]。与传统的结构模态相比,用辐射模态研究外部声辐射问题的优点在于消除了结构模态中复杂的耦合项,使得计算和控制声辐射更为简单。从物理意义上讲,声辐射模态也就是振动结构表面一组相互正交的速度分布,每组速度分布代表一种可能的声辐射形式,并且每一阶声辐射模态下的声功率相互独立。声功率可表示为辐射模态与其对应的辐射效率的线性组合。声辐射模态由辐射体的几何形状和振动频率决定,而与辐射体本身的材料特性无关[5]。

    然而目前国内外对声辐射模态的研究和应用均基于理论或数值计算方法[5～10],一般认为,采用实验方法获得结构的声辐射模态及其辐射效率非常困难[3, 6]。本文以一玻璃平板为例,提出通过互换方法实验测量声辐射模态的形状及其对应的辐射效率。

    1　声辐射模态基本理论

    假设有一振动物体,令其表面S0为封闭光滑边界表面。该物体沉浸在密度为Q,声速为c的介质(例如空气)中,振动物体构成声源,声源向无边界空间辐射形成声场为8,如图1所示。

    引入辐射算子L(s,r)表示远场声压p(r)和振动结构表面法向速度v(s)之间的关系,即L(r,s)为建立两者之间关系的算子,则有

p(r) =L(s,r)v(s),　s∈S0,　r∈8(1)

　　由于声功率W可以通过远场声压表示为[3, 4]

    式中　上标“*”表示复共轭,Re表示括号内取实部。

    由于p(r)和v(s)均属于平方可积空间L2空间,所以算子L(s,r)为平方可积空间L2到平方可积空间L2的线性算子,引入内积

〈x,y〉=k8xy*d8(3)

    则式(2)就变为

　　把式(1)代入式(4),则

    根据内积的交换律,式(5)可以重新表示为

    E(s,r)为正定是显然的,因为声功率W总是正的。根据泛函分析中的算子谱理论[7, 8],针对线性算子E(s,r),存在对应特征值Kk的完备的特征向量

QkKkQk=ERQk,(k= 1,2,…) (7)

    式中　Qk表示第k阶特征向量,Kk表示第k阶特征值,为正实数。

    因此,由特征向量Qk的完备性可知,在声源表面上的任一振速分布都可用特征向量Qk展开表示

v=∑∞k=1ckQk(8)

    把式(8)代入式(6),利用特征向量的正交性得

　　式(8)中的Qk就表示在振动体表面一种可能的速度分布,任何表面速度都可以表示为Qk的线性组合。Qk作为速度分布代表了一种固有的辐射形式,称之为声辐射模态。由于Qk相互正交,所以每一阶声辐射模态下的声功率相互独立。声辐射模态由辐射体的几何形状和振动频率决定,而与辐射体本身的材料特性以及边界条件无关。