减振结构刚度特性对随机振动响应的影响

　　减振结构的动力学特性(刚度、质量和阻尼等)对减振效果和系统的随机振动响应有很大的影响,是减振设计研究中的值得关注的问题之一[1,2]。本文中建立了一典型减振结构的动力学模型,推导了基础随机激励下该模型的响应功率谱关于刚度参数变量的解析公式。并以此为基础,对减振结构的振动响应在不同刚度取值下的变化特点进行了分析。

　　1　模型及计算公式

　　对某减振系统建立如图1所示两个子系统等效的质量-刚度集中参数模型。其中子系统1代表上部的被减振结构,子系统2代表带有减振措施(如弹簧、橡胶垫、钢丝绳减振器等)的支撑结构;m1,m2分别代表两个子系统的质量;k1,k2分别代表两个子系统的刚度;系统间刚度倍数n;子系统2受固端约束。激振方式为基础随机激励。m1=100 kg,m2=1000kg,ξ1=0.05,ξ2=0.2。取k1为基本变量,k2=nk1。

　　图1所示的两个子系统模型在基础激励下的动力学方程为

式中:M,C和K分别表示模型的质量、阻尼和刚度矩阵;g表示基础加速度;x,.x和分别表示模型的

　　相对位移、相对速度和相对加速度列阵。质量矩阵和刚度矩阵的表达式为

　　根据模型的广义特征方程(K-ω²M)Φ=0可以得出模型的自振频率为

　　在振动响应分析中关心的是被减振结构(即模型子系统1)的绝对位移xT1,它可表示为相对位移x1与拟静位移xs1之和,即

　　因此其谱密度也包括了相对位移谱和拟静位移谱以及它们互谱的贡献

其中Sx1(ω)为子系统1的相对位移谱密度,可由方程(5)根据振型叠加原理求得

式中Hk(ω)=1/(ω²k-ω²+i2ξkωkω),是单自由度体系的位移频率响应函数。

　　Sxs1(ω)为子系统1的拟静位移的谱密度

　　Sx1xs1(ω)为子系统1的相对位移和拟静位移的互谱密度,Sxs1x1(ω)为拟静位移和相对位移的互谱密度

　　把式(9)~式(12)代入式(8),得到子系统1的绝对位移谱密度为

式(13)和(14)就是模型子系统1在基础激励下的随机振动响应谱关于k1和n基本变量的解析表达式。它们建立了响应与刚度变量的直接的函数关系,具有一般性。但由于计算式非常复杂,无法直接看出响应量关于k1和n的递增或递减规律。文中根据上述公式用MATLAB编写了数值计算程序,可方便地代入不同的k1和n作出响应变化曲线,以分析模型的振动响应变化特点。

　　2　模型振动响应随k1和n的变化分析

　　取k1=2×10⁷N/m,n分别取0.1,0.2,0.5,1.0,2.0。基础激励谱见表1。计算出子系统1的位移、速度和加速度响应功率谱曲线见图2。