非对称圆环拍的特性研究

    ０　引言

    圆环虽然结构简单，但从它的振动特性可以推导出钟等轴对称结构的振动特性。过去１００多年来一直对它进行着研究，Ｓｔｒｕｔｔ［１］、Ｌｏｖｅ［２］等研究并整理了圆环的动力学方程，Ａｌｌａｅｉ［３］等发表了关于微小非对称圆环固有频率及固有振型的研究，Ｒｏｕｒｋｅ［４］等发表了有关非均匀形状圆环振动模态振型的研究成果。最近宋正和，王焕［５］研究了叠层平面圆环的振动行为。

    本文根据旋转壳体的振动原理，建立圆环结构在点冲击脉冲力作用下振动响应的理论模型，从中提出圆环结构拍的理论模型，阐述拍的分布特性，并通过实验验证其有效性。

    两个不同频率的谐振动，如果它们的频率相差不大、振幅相近，那么合成时会在互相干涉下出现合振动的振幅周期性地时大时小的现象，这种现象称为拍（ｂｅａｔ）现象。实际上，圆环、钟以及高速回转的单盘转子等轴对称结构的物理特性（密度，弹性模量）和几何特性（沿环轴的横截面形状和面积）的微小不均匀造成了振动模态双固有频率细微的分离，这对模态间的干涉使合振动中出现拍现象。特别是钟的拍频振带来时高时低的拍频声，它使钟声有强烈的抖动感，那就是古书中所说的钟声“时远时近”现象。

    过去拍的研究主要依靠实验和有限元等数值近似解析法，但对拍发生过程的理论研究并不多［６］。本文利用拍的理论模型对圆环的拍现象进行了详细的分析，并与实验结果做了比较，绘制了沿圆周拍的分布图。此研究结果不仅可以帮助理解钟的拍现象，还可为校正钟的拍频声提供理论依据。

    １　圆环的振动

    当敲击圆环的某一点时，圆环的振动由其一系列固有振动模态（ｍｏｄｅ）叠加而成。所谓固有振动模态，是整个物体不受外力情况下按一定形状作同频率同相位的简谐振动，其频率称为该模态的固有频率，对应的振动形状称为该模态的固有振型（简称模态振型ｍｏｄｅ　ｓｈａｐｅ）。

    １．１　对称圆环的振动模态

    轴对称圆环振动模态是成对出现的，式（１）、（２）是一对圆环径向振动ｎ模态固有振型函数［７］，这里分别称为ｎ１模态和ｎ２模态。模态的特点是沿圆周均匀地交替分布着２ｎ个节点（ｎｏｄｅ）和２ｎ个反节点（ａｎｔｉ－ｎｏｄｅ）。这里要注意的是轴对称圆环ｎ１模态和ｎ２模态的固有频率大小相等，都是ωｎ，这两个模态节点和反节点的位置正好相反（ｎ１模态的节点就是ｎ２模态的反节点，ｎ１模态的反节点又是ｎ２模态的节点，可参考后面的图２）。