第二代小波在三轴转台实验中的应用

    三轴转台试验是弹丸测试时实验环节之一,为使其最大限度地反映系统的真实输出,必须对采样数据进行滤波。本文探讨了一种基于第二代小波-提升格式的滤波方法、并采用了多项式拟合的预测方法。

    一、第二代小波-提升格式

    基于提升格式的第二代小波是由Sweldens在1996年提出的[1]。提升方案把小波变换过程分为分裂(Split)、预测(Prediction)和更新(Update)三个阶段。分裂过程通常将整个信号X(n)惰性分解成奇数序号信号X0(n)与偶数序号信号Xe(n),然后将预测误差X0-P(Xe)代替X0,其中P(#)为预测算子,最后利用更新后的X0计算Xe+U(X0)用以替代Xe,U(#)为更新算子。分解的每一步都是可逆的,提升方法重构过程是分解过程的逆过程。

    二、噪声在小波变换下的传播性质

    信号和噪声具有不同的奇异性,信号的Lipschitz指数大于零,噪声的Lipschitz指数小于零,两者小波变换模的极大值在不同尺度下的传播特性不同[2]。

    在白噪声时,f(x)若是零均值、方差为R2的广义平稳随机过程,则其小波变换为

Wf(j,k)=<f(x),7j,k(x)>=QRf(x)7-j,k(x)dx (1)

    在给定的小波分解尺度k下有

E(|Wf(j,k)|2)=R2+7+/s (2)

    这表明|Wf(j,k)|2的均值随尺度的增大而减小。

    白噪声的方差为

D(|Wf(j,k)|2)=2R4+7+2/s2(3)

    这表明|Wf(j,k)|2的方差随尺度的增大而减小。由于信号小波变换的系数随尺度的增大而增大,而且白噪声、尖脉冲的均值、方差随尺度的增大而减小,因此对于含噪声的信号进行小波分解,噪声主要包含在最小尺度分解的高频部分,可以通过对最小尺度分解的高频系数的处理估计出噪声的方差。

    三、多项式拟合的预测方法[3]

    设f(x)是一个定义在实轴上的函数,f(x1),f(x2),,f(xM)是f(x)在相应点上的函数值。若在函数空间F中找一个函数U(x),使得

    其中¢1,¢2,,,¢M是权重系数,则U(x)就称为在点x1,x2,,xM上对f(x)的拟合曲线。

    通常,我们要求函数空间F是一个有限维的线性空间,也即存在着一组线性无关的函数U1(x),U2(x),,UN(x),使得

    于是,求拟合曲线U(x)就可以简化为求一组实数a1,a2,,,aN,使得下面的目标函数达到最小值

    通过9H/9ak=0,k=1,2,,,N,可以得到如下的线性方程组

    因此,曲线拟合的系数a1,a2,,,aN可以通过求解式(7)得到。

    在本文中,只考虑多项式拟合,也即