均匀介质中线圈激发的涡流场分布

　　传统的方法都是先引入矢量磁位,然后利用有限元法进行仿真计算各种不同的线圈所激发的涡流的分布情况^[1~3],计算工作量非常大。而笔者直接从麦克斯韦方程和毕奥-沙伐定律推导出具有普遍性的空心激励线圈在均匀平板导体内所产生的涡流分布计算公式,可以用任意高效率的编程语言编程计算,比用传统方法计算简单。笔者用MATLAB软件编程计算了涡流的分布,在普通家用电脑上,运行时间仅数十秒至数分钟。

　　1　模型和编程所用公式

　　涡流检测是基于交变电磁场与导电构件相互作用所产生的信号来检测构件的缺陷状态,激励频率在数百千赫兹以内。设空心密绕激励线圈的等效半径为a,长度为L,匝数为N,正弦交流激励电流有效值为I,频率为f,不考虑谐波分量。线圈轴线垂直于构件表面,构件为非铁磁性的,磁导率为μ0,电导率为σ,构件内涡流电流密度为J。选取坐标系的z轴沿线圈轴线且为构件表面外法线方向,xoy是构件表面。提离值(线圈与构件表面的间隙)为h。

　　轴对称的线圈在空间产生的磁场也是轴对称的。当构件尺寸远大于探头的尺寸时,对于无缺陷的情况,涡流场是一个三维轴对称场。线圈在构件内任意一点产生的磁感应强度B可以分解为沿半径方向的分量Br和沿z轴方向的分量Bz。Br对涡流场的产生没有贡献,因为若选任意一条半径为R的电流线为积分回路c,则根据麦克斯韦方程,变化的磁场产生涡旋电场E,且有

　　Bz按正弦规律变化,不妨设其对时间的导数仍按正弦规律变化,即相位比Bz超前π/2。若只计算有效值则为代入上式中得到距z轴为R处的电流密度有效值大小的计算公式如下

　　在计算线圈产生的Bz时,可把线圈看成是N个圆环形电流组成,而每一个圆环电流又是由许多段电流微元组成,每段电流微元Idl′在距它为R′处的构件内产生的磁感应强度可根据毕奥2沙伐定律求出

　　若电流微元Idl′所在点坐标为则且由于只有dB′的z轴方向分量才对构件内涡流的形成有贡献,故只需计算dB′的z分量,即

　　式中(x,y,z)是构件内任一点的坐标,由于轴对称,一般取xoz平面内的情况进行计算。即x=r,

　　对式(4)中θ从0到2π积分,得到一个中心位于z′的圆环电流产生的磁场B′z。对于N匝线圈来说,z′从h变化到h+L,令q=(z′-h)/L,q从0变化到1,dq所对应的圆环电流为NIdq,则式(1)中的Bz应该为

　　代入式(1)得到构件中深度为-z(表面下,z取负值),距z轴为R处的电流密度为