环形子孔径拼接算法的精度影响因素分析

　　引 言

　　环形子孔径扫描法[1]是一种检测旋转对称高精度大口径、大相对口径非球面面形的有效手段，它通过轴向改变小口径干涉仪标准镜头和被测非球面元件之间的距离，产生不同曲率半径的参考球面波前来匹配被测非球面表面不同的环带区域，使得它们之间的偏离量减小到小口径干涉仪的测量范围内，每次测量仅是被测表面的一部分，通过适当的算法“拼接”得到全孔径面形信息。

　　在实际测量过程中，由于振动、温度变化等环境因素引起的随机噪声、数据处理中拟合时多项式阶数的选择不当导致的高阶噪声、相邻子孔径重叠区宽度所决定的参与求解拼接参量的数据点数以及子孔径数都影响着该方法的最终检测精度。优化的环形子孔径拼接算法是保证该方法最终检测精度的关键，本文对以上影响因素进行了理论和数值仿真分析，分析结果为算法优化和实际检测提供了理论依据。

　　1 环形子孔径拼接算法

　　以标准镜头出射的发散光束的焦点为坐标原点，光轴方向为Z 轴建立坐标系，如图1 所示。设z(x,y)表示非球面方程,s (x,y,R)表示曲率半径为R 的参考球面波前方程。第i 个子孔径光程差测试数据[2]可以表示为

式中OPD 值表征被测元件表面误差情况，P、Tx、Ty分别表示调整误差引起的平移、x 方向倾斜、y 方向倾斜系数，ε 表示随机噪声、高阶噪声、系统误差等所有测量误差的总和。相邻子孔径位置关系如图2 所示，设环形孔径A 为圆a 和圆 c 之间的区域，环形子孔径 B 为圆 b 和圆d 之间的区域，阴影部分为环形重叠区域。对于某一个确定的子孔径 Ri为已知量，将z(x,y)、S(x,y, Ri)代入(1)式，就可以消除测量时使用不同曲率半径参考球面波前对测量值W(x,y)的影响。此时，具有调整误差和表面误差的子孔径 A、B 光程差值分别表示为

　　将等式(3)得到的数据在环形重叠域内与环域 Zernike 多项式[3]进行最小二乘拟合，由该多项式的性质可知，其前3 项分别为平移、x 方向倾斜、y 方向倾斜系数。在求得了相邻环形子孔径 A、B 间的相对平移和倾斜系数后将子孔径 B 的所有测量值减去相对调整误差，子孔径 B 的数据就跟子孔径 A 的数据有着同样的参考标准，这就实现了数据“拼接”。相邻子孔径间两两拼接就可以得到全孔径面形信息。相邻子孔径位置关系如图 2 所示，设环形子孔径 A 为圆a 和圆c 之间的区域，环形子孔径 B 为圆 b 和圆d 之间的区域，阴影部分为环形重叠区域。

　　2 精度评定方法

　　设W′( x,y)表示经过上述算法拼接处理后的全孔径数据，W(x,y)表示全孔径数据真值，则算法精度可由下式来描述