基于Gabor框架合成小波束叠前深度偏移

　　随着波动方程叠前深度偏移技术的不断发展，获得可靠高分辨率的地震成像结果成为可能。但复杂地质构造的成像质量，除了传播算子和成像条件的影响外，还受其他因素的影响。1992 年 Berkhout[1]提出了一种快速有效的组合炮技术，它通过某种合成算子将所有炮道集合成一个组合炮记录，再对组合炮记录应用常规的深度偏移算法进行偏移，而不需要对每个单炮进行偏移。张叔伦等[2]将组合炮技术分别应用于有限差分和 Fourier 有限差分叠前深度偏移，提高了波动方程叠前深度偏移的计算效率并获得了很好的成像结果。张叔伦等基于控制照明技术对 Marmousi 模型进行有限差分叠前深度偏移，改善了深层的成像。目的层震源波场的照明控制可通过构造合适的合成算子来实现。炮域叠前深度偏移涉及一个很大的计算量，非常耗时，效率问题制约很大。为了提高运算的效率，射束的概念被引入和应用于地震成像中。然而，Tygel 等[3]的文章中，只考虑了在简单的水平分层模型中垂直入射的射束源情况。Sun 等[4]提出了将分布于地表“小片”范围内的炮点及接收点所对应的地震资料进行组合，并对组合道集的记录波场做 Kirchhoff 偏移，即采用源和接收点射线束来进行偏移。这种“射束”源是将空间上邻近的点源进行组合得到的，并非一般意义上的射束。Wu[5-6]提出了基于局部扰动理论的小波束波动方程偏移方法，建立了采用非正交Gabor-Daubechies 框架分解和正交局部余弦基分解的小波束域波场外推理论基础。陈凌[7]在 Wu 的基础上进一步完善了小波束域波场外推解析和半解析公式的推导，并发展和实现了基于 G-D 框架分解的小波束域波场传播、偏移成像方法、理论及其在相关方面的应用。Wu等[8]和陈凌等[9]基于框架理论，采用局部背景速度及局部扰动，发展了局部角度域波场传输算子及相应的步进算法。冯伟等[10]将局部平面度分解技术应用到控制照明和局部成像中。

　　本文工作是利用 G-D 框架分解和 Fourier 传播算子的优点合成小波束，利用小波束域波场分解和传播在空间和方向上的双重局域性，通过对目标区域的成像试算表明，小波束满足了局部炮道集在特定方向上偏移成像的要求。

　　1 G-D 框架构建及小波束域波场外推

　　1.1 窗口 Fourier 变换

　　信号 f ( x )用其平面波谱展开：

　　1.3 小波束域波场外推及局部成像条件

　　地震数据偏移成像的核心就是波场外推，即利用地表观测面的波场重建地下曾经的波场。波场外推的这一数学过程可以用数学物理的偏微分方程加上相应的边界条件和/或初值条件来表述[13]。在 f-x 域中，二维标量波动方程可表示为：