基于极径法球径测量的测量点布局设计

　　1　前言

　　高精度球形零件在精密机械和航天工业中的应用越来越广泛,因此,国内外都在积极地研究和探讨高精度球面参数的测量问题。对于球面轮廓度的测量,一般采用光学干涉法可获得较高的精度。对于球径的测量大致有两类方法:直角坐标等精度测量方法和极径法。直角坐标等精度测量方法一般在三坐标测量机上实现,由测得的球面上多点的三个直角坐标,经数据处理得球径参数[1]。该方法虽然测点数目多,但由于三维运动带来的误差,球径的估计精度不高(≥1μm)。极径法一般是在一个球形量规上布置多个测头,这样一次可测得多点相对于量规球径的偏差值,经数据处理,可得球径参数的评定值[2]。极径法测量避免了三维运动带来的误差,但是由于空间位置和量规结构等方面的限制,测点数目不能太多,所以有必要研究当量规上每一个测点的测量精度为一定值时,如何在空间布置有限个测

点(简称布点),以获得较高的球径测量精度。

　　文献[3]研究了圆测量时的布点问题,文献[4]研究了三维直角坐标法测量球时的布点设计问题。本文将研究极径法测量球时的球径估计、球径测量结果与各测点误差的关系以及布点问题。

　　极径法一次测得的极径ri(i=1,2,…,n)是等精度的,纬角φi和经角θi(i=1,2,…,n)是确定的。用直角坐标法测量球径时,通常每个测点的三个坐标xi,yi,zi(i=1,2,…,n)也是等精度的。但从球面坐标(ri,φi,θi)转化为三维直角坐标时(xi=risinφicosθi,yi=risinφisinθi,zi=ricosφi),变成了一个不等精度的测量问题。进一步应用直角坐标的参数最小二乘估计时,就不能照搬等精度的最小二乘估计方法,而必须用加权的最小二乘估计。下面提出极径法测量时的加权最小二乘估计及由此推导的优化布点方案。

　　2　数据处理模型

　　综上所述,式(5)为基于极径法测量的球面半径和球心坐标的加权最小二乘估计。式(8)为这两项估计结果的精度估计。由式(8)可见,球面参数估计结果的精度不仅与极径直接测量的精度σ有关,而且与测点数目、测点的分布(φi,θi)有关。如何设计布点,以便得到较高的测量精度,就是布点的优化设计问题。

　　3　布点的优化设计

　　在讨论优化设计时,要考虑以下问题:

　　(2)极径法测球要求被测工件塞入球形量规,所以此方法一般仅适用于半球面或小于半球面的测量场合。此时不可能使r~k都达到最高精度。

　　(3)上述模型是在量规球心与被测工件球心一致的条件下推出的。实际测量时偏心难以避免。当偏心过大时,可用三维工作台调整工件位置。当偏心量e调整到一定范围内(该范围由布点情况和精度要求,以及工作台的易调程度等决定),采用循环迭代的方法将拟合的球心作为新的坐标原点重新拟合,直到e≤ε时为止。由于迭代过程用到球心的中间估计值,所以虽然追求的目标为球径的估计精度,但α~k的精度将极大地影响最终的r~k的精度。因此布点时要综合考虑,并注意布点的均匀性、分散性等。