小波变换及其在涡流无损检测中应用

　　1　引言

　　小波变换是近年来从傅立叶变换的基础上发展起来的,它突破了傅立叶变换在时域没有任何分辨力的限制,可以对指定频带和时间段内的信号成分进行分 析。在时域和频域同时具有良好的局部化性质,并且由于对频率成分采用逐渐精细的时域或频域采样步长,从而可以聚焦到信号的任意细节。小波变换的一切应用全 在于此。根据涡流检测,涡流在导体中传播时,要受到导体材料介质和表面缺陷的影响而变形和衰减,从而接收到的涡流响应是一个被干扰了的信号,同时由于缺陷 几何尺寸的不同,接收到的涡流响应的时序和频率成分也不同。如果能从被干扰了涡流响应中提取与时间位置有关的频谱信息,无疑对确定材料缺陷的特性和结构是 十分有益的。小波变换就为这类非稳定信号的分析处理提供了新的有力工具。

　　2　小波变换的基本概念[1～2]

　　从信号处理的角度来说,小波变换是一种谐波分析的方法。它由法国地球物理家于1980年首先提出,经过20多年的发展,已经建立了正交小波基的 一般方法,实现了快速小波算法,并找到了很多正交小波基。现在小波变换在信号处理、模式识别、图像识别和声学中都有许多应用。设f(t)是一个能量有限的 信号,其小波变换定义为f(t)与一个波函数集ψab(t)的内积,即

　　 (1)

　　 (2)

　　ψ(t)满足以下条件:

　　(1)

　　(2)即ψ(t)平方可积,其中设

　　(3)的傅里叶变换则ψ(t)称为小波函数。

　　由于小波变换是可逆的,信号f(t)的重构公式及其逆变换为:

　　 (3)

　　在信号处理的实际应用中,a、b只能取有限个离散数据,这样由式(2)得到离散小波集ψij(t),其中

　　(4)

　　相应式(1)即为离散小波变换

　　 (5)

　　式中ψ*ij(t)是ψij(t)的共轭。

　　f(t)的重构表达式为

　　 (6)

　　式中　　c——常数

　　E——误差项

　　信号精确重构的关键是选择合适的a0、b0和ψ(t),使E=0。由小波框架理论知道,a0=2、b0=1,且ψ(t)(i,j∈Z)彼此正交 时,式(6)的重构信号误差E为零。从而实现信号f(t)(∈L2(R))用小波集函数ψij(t)精确线性表示。图1为一正交小波函数及其频谱。

　　小波变换的基函数ψij(t)对不同的尺度因子i的时间分辨力和频率分辨力是不同的,但两者之积为一常数。随着尺度因子i减小,时宽减小,频宽 加大,谱曲线的中心频率升高,即时间分辨力升高,频率分辨力降低。所以将信号ψab(t)(或ψij(t))作为基函数进行分解的小波变换,通过改变尺度 i可实现对高频信号由较高的时间分辨力,对低频信号也有较高的时间分辨力。