螺栓装夹作用下空间光学摆镜变形研究

　　Zernike多项式由于其各项系数与光学Seidel像差项有对应关系^[1],广泛应用于描述干涉图的波前像差.最常见的应用是通过分布在反射镜背面的作动器阵列向反射镜施加轴向作用力以达到镜面形面控制.每个作动器的作用力都会引起一定的镜面变形,根据小变形理论,各作动器引起的镜面总变形为其单独作用时引起镜面变形的线性迭加^[2-6].所有这些结构上的变化等同于引起光学系统波前畸变的2倍.因此需通过调整某些作动器使得Zernike多项式系数变化,从而达到光学系统成像的要求^[7-8].Le-maitre^[9-10]对其进行了拓展,首先确定镜面背部固定点上对应特定变形模式的力的组合,然后利用叠加原理,求出在给定变形模式下的最小外力组合.

　　本文从主动光学技术出发,对置于弹性平台上由各个支臂提供的在一定装夹力作用下的镜面变形进行分析.首先根据镜面变形模式与一组确定的外力相对应,求出所有模式对应的外力组合,再根据最小势能原理求解外力的组合系数,进而得出总变形.对比Lemaitre的方法,不同之处在于Lemaitre是根据变形量计算外力,而本算法是根据外力求解变形量.前者能够得到唯一解,而本算法求变形量时首先得到无数个可能解,再运用最小势能原理求出实际变形.

　　1　镜面弯曲的准Zernike模型和弹性力学方程

　　图1为置于弹性平台上的光学摆镜.准Zernike多项式的正交基是rⁿsin(mθ)和rⁿcos(nθ),理论上项数越多拟合误差越小,实际中一般常用其前9项,因为这9项对应有明确的物理意义,第1项为常数,第2~9项分别对应x向倾斜、y向倾斜、离焦、与轴成0°或90°的像散、与轴成45°的像散、x轴的3级彗差、y轴的3级彗差、3级球差等.由于rⁿsin(mθ)项在笛卡尔坐标系中,可以由rⁿcos(mθ)项旋转90°得到,为了简化计算,只对rⁿcos(mθ)项进行计算^[9],可以相应得到rⁿsin(mθ)项.

　　根据弹性力学理论,圆板在外力作用下的弯曲可由下式表示:

　　式中: 2为拉普拉斯算子,q为圆板上均布荷载,D为圆板抗弯模量,

　　其中,E为弹性模量,h为板的厚度,ν为泊松比.对图1中实际镜面的区域(半径为a的区域,在下文中称内圈),弯曲方程采用Zernike多项式

　　式中:A=[Anm]为光学三角阵,n、m为正整数.

　　将式(3)代入式(1),整理并令均布载荷为零,得

　　准Zernike多项式中必须满足:n-m=2p,其中p=0,1,2…,可以确定当n≥2时n与m的组合.

　　假定内圈(图1中r≤a的部分)所受的外力为零,式(4)右端项为零,则