基于WDQ法的粘弹性输流管道稳定性分析

　　1 引言

　　输流管道系统在海洋工程、生物工程及航空航天等领域有着广阔的应用背景。关于输流管道的振动和稳定性问题,几十年来一直是结构动力学问题研究的热点内容之一,也取得了丰富的研究成果。在这些研究当中,人们应用了各种数值方法,而微分求积法DQM (Differential QuadratureMethod)因其原理简单,计算量小,在输流管道研究当中得到了较为广泛的应用[1-5]。但是这种基于多项式插值的逼近技术在应用中也有一定的局限性,如不易处理一些带奇异性的问题(如集中载荷、结构刚度突变和奇异边界条件),于是人们做了许多改进。李晨等[6]将微分求积法与区域分裂法相结合研究了结构的裂缝问题;Shu等[7]提出了基于全局径向基函数的DQ法;Striz等[8]将有限元离散技术与DQ法相结合,提出了DQ单元法;Wang等[9]提出了广义DQ法,张纯等[10]提出了一种基于插值小波基函数的DQ法。本文根据多分辨分析,构造了以小波尺度函数为基础的有限区间上的插值基函数,形成了WDQ法,并结合权系数修正法,研究了外部流体阻尼对简支Kelvin型粘弹性输流管道振动特性和稳定性的影响。

　　2 运动微分方程

　　简支Kelvin型粘弹性输流管道如图1所示,当考虑外部流体的作用时,其振动微分方程为^[3,4]

　　式中y为管道挠度,EI为管道的抗弯刚度,G为粘性系数,m1为单位长度管道内流体质量,m2为单位长度管道的质量,m3为外部流体作用在单位长度管道上的附加质量,U为管道内流体速度,c为外部流体的阻尼系数,L为管道的长度,F为管道外流体作用在单位长度管道的涡激升力。

　　设D为管道的外径,Qc为管道外部流体密度,V为管道外部流体速度,则^[3]

式中CD为粘性阻力系数,CL为升力系数,sr为Strouhal数。

　　引入下列无量纲的量:

对简支输流管道,其无量纲边界条件为

　　3 方程离散的WDQ法

　　3.1 小波插值基函数的构造[11]

　　设尺度函数ф(ξ)生成L2(R)空间的一个多分辨分析{Vj,jIZ},ф(ξ)的中心在坐标原点,则的中心在区间[0,1]的中心处,仍生成L2(R)空间的一个多分辨分析{?Vj,jIZ}。于是对于足够大的J,有

　　在Riesz基中,选择中心在[0,1]内的尺度函数,称为内尺度函数,其余的称为外尺度函数。由<-Jk(N)的构造可知,[0,1]中共有内尺度函数2^J+1个,其中心分别为

　　由于的衰减性,只有边界点附近的一些外尺度函数对区间[0,1]上的函数有贡献,于是在左右边界附近各取N个外尺度函数,这时区间[0,1]上的函数就可由这2N个外尺度函数和2^J+1个内尺度函数表示。记