试论万能仪

　　在文献[ 1] 中, 笔者介绍了画椭圆的工具, 并阐述了它的工作原理。本文主要讨论包括椭圆在内的一些几何曲线的直接画法, 并介绍绘制工具的原理及其应用。

　　1 工具结构及操作方法

　　欲直接绘制一些复杂的几何曲线, 就必然涉及到工具, 这里涉及的工具是一件绘制几何曲线的工具。按照本文提供的设计方案: 备 3 根相同的直尺 L1、L2、L3, 直尺上设置滑槽和销孔, 滑槽内装置可以控制( 固定或活动) 的滑轮, 其中 L1和 L2滑槽内各安装 1 只滑轮, 分别为 N1、N2;L3滑槽内装 2 只滑轮, 设为 N3、N4; 将滑轮 N1和 N3套在同一销轴上, N2和 N4套在另一销轴上, 然后将 L1和 L2分别置于 Y 形框架的两端 O、P;L3上安装记录装置, 如图 1。

　　如果要画一个长短半轴分别为 a、b 的椭圆, 可对工具作如下调整: 将置于 Y 形框架 O 端的 L1调整至与 OP重合后固定; 在 L2上取 PD=( a+b) /2 后, 将滑轮 N2固定在D 端; 在 L3上取 CD=( a+b) /2后, 将滑轮 N3、N4固定在 C、D两端, 再取 DM=( a-b) /2; 工具运行时, M 点所描出的迹线就是以 P 为中心、以 a、b 为长短半轴的椭圆。

　　绘制其它相关曲线时,只需调整工具的 4 只滑轮和2 个接点。

　　2 使用功能

　　( 1) L1固定在 O 端后, 滑槽内滑轮 N1固定在滑槽一点 Q 处; 在 L2上取 PD=r, 并将滑轮 N2固定在 D 端; 在 L3上固定 N4, 即 N2、N4同在 D 点处于铰接状态。使用工具时, L3上任意一点 M的轨迹是一条光滑的闭合曲线。

　　于是, 滑动于定点的直线上一点沿圆移动时, 直线上任意一点的轨迹方程为: !=n- bsint-r2- b2cos2t!。

　　式中, b 为定点到圆心的距离, r为圆半径, n 为直线上沿圆移动点到轨迹点的距离, t 为参数。

　　以 Q 为中心, 以 x 为极轴建立极坐标系, 将调整后的装置挪入坐标系, 使 Q 与极坐标中心重合, 并使工具的 P 端在坐标系内的 t=3!/2,!=b 的位置( 见图 2) 。

　　现研究直线 L3按上面所述规则移动时, 其上任意一点 M在坐标系内的变化规律。

　　如图 2, 设动线段 L3的起始位置与 PQ 重合, 即 L3上定点 D 的坐标为 t=3!/2, p=b+r。

　　在 L3上取 DM=n, 然后沿圆移动 D, 使其与 PQ 分离, 并处于图中 D 的位置, 移动过程中, L3在 Q 点上作既缓慢旋转、又有序滑移的复合运动, 而 M 点跟着作相应位移, 假设移到了图中 M 的位置, 此时 L3在坐标内 的 极 角 为 t, 对 于 M, AQ=PQsint, AP=PQcost, AD=AC = PD2- AP2!, QM=DM- DQ, 所 以 : ! =n -bsint -r2- bcos2t!, 式中, 若 r=b, 则: !=n 或 !=n- 2rsint。

　　此即人们所熟识的心形线方程。于是: 滑动于圆上一固定点的直线上一点沿此圆移动时, 直线上任意一点的轨迹是心形线。