Zernike多项式在拟合光学表面面形中的应用及仿真

　　1　引言

　　光学主反射镜是空间光学遥感器的重要组成部分,它的镜面面形精度是影响空间光学遥感器分辨率的重要因素之一。在地面装调过程中,反射镜在光轴水平和光轴竖直两种状态下,由于重力场的作用,反射镜的镜面将会发生变形,因此在进行光学反射镜设计时需要做镜面变形分析,用以检验所设计的光学反射镜是否满足面形精度要求。镜面变形包括刚体位移和表面变形,刚体位移会引起光学系统像倾斜、离轴和离焦,表面变形将影响光学系统的波前差。刚体位移可以通过调整光学元件之间的相对位置来消除,而表面变形无法消除。因此镜面变形中的表面变形能够真实反映光学反射镜的面形精度[1-2]。本文以自由曲面镜面为例,通过有限元分析得到面形数据,用泽尼克(Zernike)多项式对变形后的面形进行精确拟合,并分离出刚体位移部分得到表面变形云图,计算出表面变形的表面变形均方根(RMS)和表面变形最大值与最小值之差(PV)。

　　2Zernike多项式

　　理想的光学镜子表面是光滑而连续的,而从有限元软件中提取的变形数据是离散的,将离散的变形数据拟合成光滑连续的曲面称为镜面拟合。有很多方法可以用于镜面拟合,如最小二乘法、Gram-Schmidt方法、协方差法和SVD法,最理想的一种方法是Zernike多项式法,Zernike多项式对于拟合镜面面形具有如下优点[3]:

　　1)在单位圆上正交。函数系的正交使不同多项式的系数相互独立,对消除偶然因素的干扰很有利;

　　2) Zernike多项式容易与Seidel像差项对应,为有选择地单独处理各像差系数、优化系统性能提供了有效方法;

　　3) Zernike多项式各项物理意义明了,是结构分析与光学分析程序之间的接口工具[4]。

　　在直角坐标系下N项Zernike多项式为:

　(1)

　　式中　ai为Zernike多项式中第i项系数;Zi为Zernike多项式的第i项;N为Zernike多项式的项数;x,y为数据点的坐标值。

　　一般该表达式取到28项就足够精确,因此,本文取28项多项式对镜面面形进行拟合。Zernike多项式各项在直角坐标系中的表达式如表1所示[5]:

　　在有限元软件中对光学反射镜进行静力分析后,可以得到镜面变形输出文件,输出文件中的数据包括:镜面上各节点变形前的坐标值xi、yi、zi,(i=1,2,3,…,m),各节点变形后与变形前的坐标差值Δxi、Δyi、Δzi,(i=1,2,3,…,m),m为镜面节点个数。设有限元模型中光轴方向为z轴,则将xi、yi、Δzi带入N项Zernike多项式中得到:

　　　(2)

　　令zij=Zj(xi+Δxi,yi+Δyi),(i=1,2,3,…,m;j=1,2,3,…,n),即第i个点的第j项Zernike表达式赋值给