薄膜加载变形的有限元数值优化反演求解

　　薄膜反射镜技术是解决空间望远镜主镜大口径、轻量化问题的主要手段，而利用静电成形法是薄膜反射镜成形的革命性控制方法[1]。但是，反射镜聚合物薄膜的超柔、低刚度特点使得薄膜反射镜的面形控制受到极大的挑战。目前由已知薄膜加载条件，求薄膜变形(正演求解)的问题广泛研究，已有很多成果[2]。多电极静电薄膜反射镜面形控制的核心问题就是由已知目标面形(一定面形精度的抛物面)反求初始平面状态下的薄膜受载性质[3]，这属于薄膜加载变形的反演求解问题。

　　1978 年国外的 D.J.Mihora 给出了薄膜反射镜的反演数值解法[4]，但具体内容未见报道。1986 年E.S.CLAFLIN 和 N.BAREKET 给出了基于泊松方程小变形理论的最小二乘法解析求解方法[5]。2004年Jérome Juillard 和 Mihai Cristescu 在已知目标面形的前提下，求VonKarman方程的解析解[6]。在国内，浙江大学的徐彦通过求解变形前后的薄膜力学平衡微积分方程方法在均布载荷作用下以抛物面为目标面反演求解了初始面形和载荷大小[7]。从国内、外的现状分析可知，目前关于薄膜加载变形的反演求解问题研究的并不多。

　　本文建立了薄膜加载变形的有限元数值优化反演求解模型，并通过 ANSYS 有限元仿真软件的APDL 参数化语言编制了优化求解程序，对一定预张力条件下的薄膜受载性质和面形之间的关系进行了研究，对于薄膜反射镜的非均布载荷成形控制具有重要意义。

　　1 反演求解

　　1.1 优化算法

　　由薄膜受载变形的正演求解问题，我们可以求出薄膜在一定预张力[8]条件下受均布载荷所得的变形值。若将这个变形值条件下的抛物面面形作为目标，反演求解所需的离散均布载荷的大小，可大大减少数值迭代计算的次数和时间。即薄膜加载变形的正演问题为反演求解问题提供了计算的基础(如图 1)。算法如图 2 所示。

　　下面介绍一下在有限元分析软件 ANSYS 环境中利用其APDL程序语言建立薄膜加载变形反演求解的参数化求解模型。

　　1.2 有限元求解模型

　　(1)薄膜区域加载

　　以 6 mm 的单元大小对[9]300mm 口径、25 m厚的聚酰亚胺薄膜进行划分，结点数 2276，有限元模型如图 3和4所示。薄膜材料属性如文献[3]。从表 1 可以看出均压条件下薄膜中心变形量数值和Hencky-Campbell 薄膜大变形级数解析解[10]在小数点后三位是相同的，可见程序的正确性。

　　外界的温、湿度变化会对薄膜的面内张力产生影响，根据薄膜热膨胀系数与热张力的关系，薄膜预张力为[9]