斜面型厚度变化板中导波的研究

　　1　引　言

　　对Lamb波在遭遇缺陷或是遇到不连续处时发生的散射进行足够的理论和数值分析,对于优化无损检测技术和发展新技术是非常必要的,却又是一个求解十分困难的问题。对Lamb波的传播和散射,由于缺陷几何形状的不规则性和散射时存在的复杂多模式转换现象,与导波传播的传统数值边值问题相比,边界元法[1]有着更强的优势。将边界元法应用来求解Lamb波的散射问题的是美国宾州州立大学的Joseph L.Rose研究小组[2,3,4,5]。1996年他们首次应用边界元法来解决Lamb波在自由板材端面上的反射问题。本文利用混合边界元法模型计算了在斜面型散射体情况下的反射和透射情况。通过计算散射区域的反射系数和透射系数与各种入射模式、入射频率以及斜面倾角变化时的关系,研究了在单一模式导波入射时导波与散射体的相互作用。在实验上研究了板中的斜面状不连续引起的模式转换现象,并将S0模式入射时的实验结果与利用混和边界元法从理论上求出的反射系数与透射系数作了分析比较,结果符合得很好。

　　2　混合边界元模型的建立

　　将边界元法与Lamb波的本征模式函数相结合,就形成了混和边界元法,它对研究导波的散射是很有用的[6]。如图1所示,虚拟边界Γ1和Γ3将无限大自由平板分成三个部分:左边的半无限板、右边的半无限板以及中间的由Γ1边界和Γ3边界组成的包含斜面的区域。Γ2边界和Γ4边界是板的上下两表面,其中上表面Γ4上有一斜面。Γ1和Γ3边界是两个假想的虚拟平面。此时边界Γ=Γ1+Γ2+Γ3+Γ4。在Γ2、Γ4两个边界上满足表面力自由边界条件,即:

其中,H和G为系数矩阵,U和T分别为n个节点的位移分量和表面应力分量构成的向量。将边界条件代入(2)式即可求得边界上未知的位移分量和应力分量。

　　式(2)是一个由2n个方程构成的线性方程组,包含2n个位移分量U和2n个应力分量T。由(1)式可知,只有2n-k-q个表面力是已知的(假设k为Γ1,q为Γ3边界上的节点个数),未知量的个数大于方程数,无法求解该方程组,需要通过其它途径增加方程的个数,可以想到用Lamb波的本征模式函数。这就是混合边界元法。

　　假定入射Lamb波幅度为αI,第j阶反射Lamb波和第m阶透射Lamb波的幅度分别为βj、βm,则第j阶反射模式Lamb波的反射系数定义为:

　　以上概括介绍了混和边界元法的建立思想,详情见文献[7]。

　　3　数值计算结果

　　3.1　反射面和透射面之间的距离L的选择

　　为了取得较为满意的计算结果,混和边界元法的建立过程中有一点要特别注意:即反射面和透射面之间的距离L不能太长,也不能太短。通过实验,我们发现当L较小(L<10mm)时,反射系数和透射系数随L变化很大;当然,如果L太大,势必太耗费计算量。从图2可以看出,当L增加到一定值时,反射系数和透射系数随L的变化就不明显了。在下面的计算中,我们取L=40mm。图2是取d1=1mm,d2=2mm,从d1端向d2端分别发射S0和A0模式导波,得到随L变换的反射系数和透射系数。