基于Matlab的透镜中心偏测量光轴拟合

　　1　中心偏测量过程中光轴拟合的意义

　　光学中心偏测量仪作为精确测定和严格校正光学系统中心偏误差的仪器,它可以指出透镜组中的各镜面相对于光轴的中心偏移数值大小和方向[1-2]。它的测量结果具有两个方面的意义:其一是通过根据被测光学件各面的中心误差是否超出,来判定光学件是否合格;其二是根据测量的结果来指导光学系统的装校。应当指出的是由中心偏测量仪测得的各透镜表面的中心位置是相对测量仪器的基准轴而言的,它并不一定是被测光学系统的基准轴[3],这将影响到直接测量的数据对光学系统装校的指导作用。由于测量前需要在测量仪上对被测件进行装夹定位,如果此时的定位误差较大,将使测量同一透镜组的重复性不好,从而使测量失去意义。因此很有必要从测量的结果中拟合出透镜组自身的光轴。如果在相应被测光学件上作出拟合光轴的标记,作为装校的参考,中心偏测量的意义就更为显著[4]。

　　基于上述原因,拟合的光轴通常被称为优化轴,由透镜各面对测量仪基准轴中心偏数据计算出各面对优化轴的中心偏的过程也是对数据进行优化的过程。

 　　2　光轴拟合方法数学模型的建立

　　光轴拟合从数学方法上来说,是一个空间直线的拟合问题[5-6]。由于三维空间中的拟合维数较多,通常需要采用投影[7]等方法作降维处理。此处提出了一种相对简单的方法,现介绍如下。考虑到中心偏测量时光轴拟合较一般直线的拟合有一定的特殊性,结合解析的方法和数值分析方法,按如下步骤建立了光轴拟合的数学模型。

　　1)采用四参数的直线方程。

　　设优化轴直线方程:

其中(x₀,y₀,z₀)为优化轴上一点坐标, (l,m,n)为方向数。取z₀=0(Z轴为测量仪器基准轴,直线必穿过z₀=0面),n=1,方程剩有4个参数x₀,y₀, l,m待定,这样较一般解析方法减少了待求参量的个数。

　　2)简化点到直线的距离公式。

　　如图1所示,对于某个面的中心Ci来说,它到优化轴的距离应为CiB,CiB位于与优化轴垂直的平面S⊥内,B为优化轴与S⊥的交点。但考虑到优化轴与测量系统的基准轴z轴夹角θ很小,可以用CiA代替CiB,CiA位于与z轴垂直的平面S内,A为优化轴与平面S的交点。

　　根据透镜各面的放大倍率等参数,可以计算得各面球心在z方向的坐标z_i。

　　由直线方程解得A点坐标(x₀+lz_i,y₀+mz_i,z_i),距离

　　3)应用最小二乘法得到关于四参数的线性方程组。

　　得到各面球心的位置坐标后,按照一般直线拟合的方法,应使各球心对优化轴距离的平方和最小,这也符合数学上的最小二乘法。