球度最小二乘评定的一般公式

　　在生产实践与科研中,很多情况(如液压元件的密封面,高精度主轴系统的双球面,带柄关节球等)只用到部分球面,然而如何评价部分球面,却未见报道.本文对此作了探讨.球度评定一般首先找出某种意义下的理想参考球,然后以此参考球的球心为中心,作两个同心球,将该实际球面刚好包容在其中.这两个同心球的半径差就是所要评定的球面在该参考球意义下的球度值.传统的参考球有最小二乘球、最小外接球、最大内接球和最小区域球.四种参考球均可由精确的数学模型来表示,从而可以把求参考球球心坐标以及对应的球度值问题归结为一个优化问题.其中最小二乘球法与其他三种评定方法不同,当测量满足采样点是经、纬度等角度分布在整个球面时,可得到用显式表示的球度误差(LSS)的近似解[1]:

　　式中:xij、yij和zij分别为被测球球面上第i根径线,第j根纬线上的采样点Pij的空间坐标;m为所测纬圆总数;n为每一纬圆上的采样点数;XL、YL和ZL分别为最小二乘球球心坐标;RL为最小二乘球半径.若记

　　则最小二乘评定的球度误差为LSS=maxeij-mineij.

　　1　评定的一般公式

　　球度评定原理如图1所示.设在O-XYZ的测量坐标系中C(XL,YL,ZL)为被测部分球面的最小二乘球心;RL为其最小二乘半径;ei为采样点Pi的径向偏差;ρi为Pi的实测半径;βi为OPi与Z轴的交角;αi为OPi在XY平面上的投影与X轴的交角.过C作CD⊥OPi,交OPi于D,则OC=XLi+YLj+ZLk.OPi方向上的单位向量为

　　当C点非常接近O点时,CD远远小于RL,因此式(2)近似为

　　记N为采样点数.根据最小二乘原理,使

　　为最小,那么RL、XL、YL、ZL须满足:

　　可得以下方程组:

　　设:

　　则方程组(4)变为

　　2　一般公式与近似公式的统一

　　当测全球且均匀采样时,利用∑sinαi=0,∑cosαi=0及∑cosβi=0等条件,可得:a2=b1=b2=c2=d1=d2=0.代入式(5)得

　　由于

　　代入式(6)后,可得式(1).因此式(5)也适用于整个球面.

　　3　算　例

　　根据上述认识编制的软件已经实例验证如下:利用圆法测得了球面形状误差数据[2,3],这些数据分布在被测球面上的16个经线圆(即32条经线)和64条纬线(即每条经线上有64个采样点)的交点上,总共有2 048个点,分别按式(1)和(5)对整个球面进行最小二乘球度评定.然后人为去除一些数据,每次去除各个经线圆上的1个数据,即每次去除16个采样点,产生一个部分球面.再分别按式(1)和(5)进行计算,结果见表1与表2.可明显看出,用式(1)计算的球心偏向一侧.这说明不满足测量采样点是经纬度等角度分布在整个球面上时,式(1)是不能用的,而式(5)才是一般化的最小二乘球度评定公式.